ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 440 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведенной из вершины прямого угла.

Краткий ответ:

Дано:

CD — биссектриса ∠ACB;
C’D’ — биссектриса ∠A’C’B’;
∠C = ∠C’ = 90°;
AC = A’C’;
CD = C’D’;

Доказать: ΔABC = ΔA’B’C’.

Решение:1) Рассмотрим треугольники ACD и A’C’D’:
∠ACD = ∠A’C’D’ = ½·90° = 45°;
ΔACD = ΔA’C’D’ — по первому признаку равенства треугольников;
∠CAD = ∠C’A’D’.2) Рассмотрим треугольники ACB и A’C’B’:
∠CAB = ∠C’A’B’;
ΔACB = ΔA’C’B’ — по катету и углу.
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

1. Обозначения и построение

Пусть даны два прямоугольных треугольника: ABC и A’B’C’,
В каждом из них ∠C = ∠C’ = 90°,
Катеты: AC и A’C’,
Биссектрисы: CD в первом треугольнике и C’D’ во втором, проведённые из вершины прямого угла к гипотенузе.
Дано: AC = A’C’ (катет), CD = C’D’ (биссектриса из вершины прямого угла).

2. Анализ задачи

В каждом треугольнике биссектриса CD делит угол ∠C = 90° пополам, то есть ∠ACD = ∠BCD = 45°.
Аналогично в ∆A’B’C’: ∠A’C’D’ = ∠B’C’D’ = 45°.

3. Доказательство равенства треугольников

Рассмотрим треугольники ACD и A’C’D’:
В них: AC = A’C’ (по условию),
CD = C’D’ (по условию),
∠ACD = ∠A’C’D’ = 45° (доказано выше).

Следовательно, по двум сторонам и углу между ними (1 признак равенства треугольников) имеем:
∆ACD = ∆A’C’D’.

4. Аналогично, рассмотрим треугольники BCD и B’C’D’:

BC = B’C’ (в прямоугольных треугольниках по теореме Пифагора, так как равны катеты и гипотенузы),
CD = C’D’,
∠BCD = ∠B’C’D’ = 45°.

Значит, ∆BCD = ∆B’C’D’.

5. Так как соответствующие элементы треугольников ABC и A’B’C’ равны,
то и сами прямоугольные треугольники равны по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.

6. Ответ

Прямоугольные треугольники равны по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.

Оцени решение