ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 441 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведённой из вершины прямого угла.

Краткий ответ:

Дано:
CD — высота ΔABC;
C’D’ — высота ΔA’B’C’;
∠C = ∠C’ = 90°;
AC = A’C’;
CD = C’D’;Доказать:
ΔABC = ΔA’B’C’;

Решение:
1) Рассмотрим треугольники ACD и A’C’D’:
ΔACD = ΔA’C’D’ — по катету и гипотенузе;
∠CAD = ∠C’A’D’;2) Рассмотрим треугольники ACB и A’C’B’:
∠CAB = ∠C’A’B’;
ΔACB = ΔA’C’B’ — по катету и углу;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:

ΔABC и ΔA’B’C’ — прямоугольные треугольники,
∠C = ∠C’ = 90° — прямые углы,
AC = A’C’ — катеты,
CD — высота, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу AB,
C’D’ — высота, опущенная из вершины прямого угла C’ на гипотенузу A’B’,
CD = C’D’.

Доказать:

ΔABC = ΔA’B’C’ (треугольники равны).

Подробное решение:
1) Рассмотрим треугольники ACD и A’C’D’:

В этих треугольниках ∠C = ∠C’ = 90°,
AC = A’C’ (по условию),
CD = C’D’ (по условию).

Следовательно, в треугольниках ACD и A’C’D’:

один катет и гипотенуза равны (AC и CD — катет и высота, но для прямоугольного треугольника высота, опущенная из вершины прямого угла, является также стороной прямоугольного треугольника ACD),
по первому признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе) получаем: ΔACD = ΔA’C’D’.

2) Переходим к исходным треугольникам ΔABC и ΔA’B’C’:

В треугольниках ABC и A’B’C’ равны катеты AC = A’C’,
Из предыдущего пункта: треугольники ACD и A’C’D’ равны, значит, равны и углы при вершинах A и A’: ∠CAD = ∠C’A’D’.

3) Рассмотрим треугольники ACB и A’C’B’:

В них равны катеты AC = A’C’,
Углы при вершинах C равны (оба по 90°),
Углы при вершинах A и A’ равны (из предыдущего пункта).

Значит, ΔACB = ΔA’C’B’ по катету и острому углу.

Следовательно, исходные треугольники ΔABC и ΔA’B’C’ равны по катету и высоте, проведённой из вершины прямого угла.

Что и требовалось доказать.

Оцени решение