ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 442 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведенной из вершины прилежащего к этому катету острого угла.

Краткий ответ:

Дано:
BD — биссектриса ∠ABC;
B′D′ — биссектриса ∠A′B′C′;
∠C = ∠C′ = 90°;
CB = C′B′; BD = B′D′;

Докажем:
ΔABC = ΔA′B′C′;

Решение:
1) Рассмотрим треугольники DCB и D′C′B′:
ΔDCB = ΔD′C′B′ — по катету и гипотенузе;
∠DCB = ∠D′C′B′;

2) Рассмотрим треугольники ACB и A′C′B′:
∠ABC = 2∠DBC = 2∠D′C′B′;
ΔABC = ΔA′C′B′ — по катету и углу;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
BD — биссектриса ∠ABC; — это означает, что BD делит угол ∠ABC пополам;
B′D′ — биссектриса ∠A′B′C′; — аналогично, B′D′ делит угол ∠A′B′C′ пополам;
∠C = ∠C′ = 90°; — оба треугольника прямоугольные, так как угол C и угол C′ равны 90°;
CB = C′B′; — стороны треугольников CB и C′B′ равны;
BD = B′D′; — стороны BD и B′D′ тоже равны.

Докажем:
ΔABC = ΔA′B′C′;

Решение:
1) Рассмотрим треугольники DCB и D′C′B′:
Мы знаем, что в этих треугольниках:
— стороны CB = C′B′ (дано);
— BD = B′D′ (дано);
— угол ∠DCB = ∠D′C′B′, так как BD и B′D′ являются биссектрисами и, следовательно, углы, которые они образуют с соответствующими сторонами треугольников, равны. Это дает нам доказательство равенства этих треугольников по двум катетам и углу между ними (по теореме о равенстве прямоугольных треугольников).
Итак, мы имеем: ΔDCB = ΔD′C′B′ — по катету и гипотенузе (поскольку гипотенузы также равны, так как CB = C′B′).
Следовательно, ∠DCB = ∠D′C′B′.

2) Рассмотрим треугольники ACB и A′C′B′:
В этих треугольниках мы имеем:
— угол ∠ABC = 2∠DBC, так как ∠DBC является половиной угла ∠ABC (поскольку BD является биссектрисой);
— аналогично, угол ∠A′B′C′ = 2∠D′C′B′, поскольку B′D′ является биссектрисой угла ∠A′B′C′.
Таким образом, угол ∠ABC равен двум углам ∠DBC, и угол ∠A′B′C′ равен двум углам ∠D′C′B′.
— стороны AC = A′C′, так как эти стороны равны, так как треугольники ΔABC и ΔA′B′C′ имеют одинаковые размеры на основе данных о равенстве других сторон и углов.
— угол ∠ABC = 2∠DBC = 2∠D′C′B′;
— ΔABC = ΔA′C′B′ — по катету AC и углу ∠ABC (или ∠A′B′C′), так как они равны, и соответствующие углы также равны.
Итак, мы приходим к заключению, что ΔABC = ΔA′B′C′, что и требовалось доказать.

Вывод:
Мы доказали равенство прямоугольных треугольников ΔABC и ΔA′B′C′ по катету и биссектрисе, как того и требовалось доказать. Это доказательство основано на использовании теоремы о равенстве прямоугольных треугольников, а также свойств биссектрисы углов в прямоугольных треугольниках.

Оцени решение