ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 445 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и двум высотам, проведённым из концов этой стороны.

Краткий ответ:

Дано:

CD ⊥ AB; C’D’ ⊥ A’B’;
BE ⊥ AC; B’E’ ⊥ A’C’;
CB = C’B’; CD = C’D’;
BE = B’E’;

Доказать:

ΔABC = ΔA’B’C’;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники CDB и C’D’B’:
ΔCDB = ΔC’D’B’ — по катету и гипотенузе;
∠CBD = ∠C’D’B’;

2) Рассмотрим треугольники CEB и C’E’B’:
ΔCEB = ΔC’E’B’ — по катету и гипотенузе;
∠ECB = ∠E’C’B’;

3) Рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’:
∠ABC = ∠A’B’C’; ∠ACB = ∠A’E’C’;
ΔABC = ΔA’B’C’ — по второму признаку;

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и двум высотам, проведённым из концов этой стороны.

Дано:

CD ⊥ AB; C’D’ ⊥ A’B’;
BE ⊥ AC; B’E’ ⊥ A’C’;
CB = C’B’; CD = C’D’;
BE = B’E’;

Доказать:

ΔABC = ΔA’B’C’;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники CDB и C’D’B’:
Для того чтобы доказать равенство этих треугольников, применим первый признак равенства треугольников — по катету и гипотенузе.

Гипотенузы: CB = C’B’ (по данному);
Катеты: CD = C’D’ (по данному);
Прямые углы: ∠CDB = ∠C’D’B’ (по условию: CD ⊥ AB и C’D’ ⊥ A’B’).

Таким образом, по первому признаку треугольники CDB и C’D’B’ равны: ΔCDB = ΔC’D’B’.

2) Рассмотрим треугольники CEB и C’E’B’:
Теперь применим первый признак равенства треугольников для треугольников CEB и C’E’B’.

Гипотенузы: CB = C’B’ (по данному);
Катеты: BE = B’E’ (по данному);
Прямые углы: ∠CEB = ∠C’E’B’ (по условию: BE ⊥ AC и B’E’ ⊥ A’C’).

Следовательно, по первому признаку треугольники CEB и C’E’B’ равны: ΔCEB = ΔC’E’B’.

3) Рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’:
Теперь применим второй признак равенства треугольников — по двум углам и прилежащей стороне. Для этого докажем, что:

∠ABC = ∠A’B’C’ (так как соответствующие углы равны, так как ∠CBD = ∠C’D’B’ и ∠CEB = ∠C’E’B’);
∠ACB = ∠A’E’C’ (так как углы с одинаковыми прямыми и сторонами будут равны).

Таким образом, по второму признаку равенства треугольников, ΔABC = ΔA’B’C’.

Что и требовалось доказать.

Оцени решение