ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 446 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Доказать равенство треугольников по стороне и проведённым к ней медиане и высоте.

Краткий ответ:

Дано:

BD — медиана ΔABC;
BE — высота ΔABC;
B’D’ — медиана ΔA’B’C’;
B’E’ — высота ΔA’B’C’;
AC = A’C’;
BD = B’D’;
BE = B’E’;

Докажите:

ΔABC = ΔA’B’C’;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники BED и B’E’D’:

ΔBED = ΔB’E’E’ — по катету и гипотенузе;
DE = DE’;

2) Рассмотрим треугольники BEC и B’E’C’:

CE = CD + DE = 1/2 AC + DE;
C’E’ = C’D’ + D’E’ = 1/2 A’C’ + D’E’;
C’ E’ = CE;
ΔBEC = ΔB’E’C’ — по двум катетам;
∠ECB = ∠E’C’B’, CB = C’B’;

3) Рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’:

∠ACB = ∠A’C’B’;
ΔABC = ΔA’B’C’ — по первому признаку;

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:

BD — медиана ΔABC;
BE — высота ΔABC;
B’D’ — медиана ΔA’B’C’;
B’E’ — высота ΔA’B’C’;
AC = A’C’;
BD = B’D’;
BE = B’E’;

Докажите:

ΔABC = ΔA’B’C’;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники BED и B’E’D’. Эти треугольники имеют общую сторону DE (поскольку BE = B’E’ по условию задачи). Также мы знаем, что медианы BD и B’D’ делят треугольники пополам. В связи с этим применим теорему о равенстве треугольников по катету и гипотенузе (катет BE и гипотенуза BD). Таким образом, мы получаем равенство треугольников ΔBED и ΔB’E’D’ по катету и гипотенузе. Следовательно:

ΔBED = ΔB’E’E’ — по катету и гипотенузе;
DE = DE’;

2) Теперь рассмотрим треугольники BEC и B’E’C’. Обозначим точки пересечения медиан и высоты как C и C’. Так как BE = B’E’ (по условию), а также AC = A’C’, мы можем утверждать, что:

CE = CD + DE = 1/2 AC + DE;
C’E’ = C’D’ + D’E’ = 1/2 A’C’ + D’E’;
C’ E’ = CE, так как обе эти величины равны;
ΔBEC = ΔB’E’C’ — по двум катетам (по признаку равенства треугольников по двум катетам);
∠ECB = ∠E’C’B’, так как угол между катетами равен в обоих треугольниках;
CB = C’B’ — по свойствам медиан, поскольку они делят сторону пополам.

3) Наконец, рассмотрим треугольники ABC и A’B’C’. Мы доказали, что треугольники BEC и B’E’C’ равны. Следовательно, мы можем заключить, что и треугольники ABC и A’B’C’ равны. Так как они имеют одну сторону (AC = A’C’) и равные углы (∠ACB = ∠A’C’B’), по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне), получаем равенство треугольников ΔABC и ΔA’B’C’. Таким образом:

∠ACB = ∠A’C’B’ — по общим углам;
ΔABC = ΔA’B’C’ — по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне).

Что и требовалось доказать.

Оцени решение