ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 447 Мерзляк — Подробные Ответы

Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC соответственно в точках M и K, являющихся середи­нами этих сторон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудалены от прямой MK.

Дано:

• AM = MB; CK = KB;
• AA’ ⊥ MK; BB’ ⊥ MK;
• CC’ ⊥ MK;

Доказывать:

• AA’ = BB’ = CC’;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники AA’M и BB’M:

• ∠AMA’ = ∠BMB’ — вертикальные;
• ΔAA’M = ΔBB’M — по гипотенузе и углу;
• AA’ = BB’;

2) Рассмотрим треугольники CC’K и BB’K:

• ∠CKC’ = ∠BKB’ — вертикальные;
• ΔCC’K = ΔBB’K — по гипотенузе и углу;
• CC’ = BB’ = AA’;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AM = MB; CK = KB — точка M является серединой стороны AB, а точка K — серединой стороны BC;
• AA’ ⊥ MK; BB’ ⊥ MK — прямые AA’ и BB’ перпендикулярны прямой MK;
• CC’ ⊥ MK — прямая CC’ перпендикулярна прямой MK.

Доказывать:

• AA’ = BB’ = CC’ — необходимо доказать, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC на прямую MK, равны между собой.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники AA’M и BB’M:

• ∠AMA’ = ∠BMB’ — углы AMA’ и BMB’ вертикальные, то есть равны;
• Кроме того, прямые AM и BM равны, так как M — середина стороны AB (AM = MB), а также прямые AA’ и BB’ по определению являются перпендикулярными к прямой MK;
• Следовательно, треугольники AA’M и BB’M равны по гипотенузе (AM = BM) и углу ∠AMA’ = ∠BMB’ (по признаку равенства треугольников по гипотенузе и углу);
• Таким образом, AA’ = BB’ — мы доказали, что перпендикуляры из точек A и B на прямую MK равны между собой.

2) Рассмотрим треугольники CC’K и BB’K:

• ∠CKC’ = ∠BKB’ — углы CKC’ и BKB’ вертикальные, то есть равны;
• Прямые CK и BK также равны, так как K — середина стороны BC (CK = KB), а прямые CC’ и BB’ по определению перпендикулярны прямой MK;
• Таким образом, треугольники CC’K и BB’K равны по гипотенузе (CK = BK) и углу ∠CKC’ = ∠BKB’ (по признаку равенства треугольников по гипотенузе и углу);
• Следовательно, CC’ = BB’ — мы доказали, что перпендикуляры из точек C и B на прямую MK также равны.

3) Таким образом, AA’ = BB’ = CC’ — мы доказали, что все перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC на прямую MK, равны между собой.

Что и требовалось доказать.