ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 448 Мерзляк — Подробные Ответы

Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках M и K соответственно. Вершины данного треугольника равнодалены от прямой MK. Докажите, что точки M и K являются серединами сторон AB и BC соответственно.

Дано:
AA’ = BB’ = CC’;
AA’ ⊥ MK; BB’ ⊥ MK; CC’ ⊥ MK;

Докажите:
AM = MB; CK = KB;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники AA’M и BB’M:
∠AMA’ = ∠BMB’ — вертикальные;
ΔAA’M = ΔBB’M — по катету и углу;
AM = MB;

2) Рассмотрим треугольники CC’K и BB’K:
∠CKC’ = ∠BKB’ — вертикальные;
ΔCC’K = ΔBB’K — по катету и углу;
CK = KB;

Что и требовалось доказать.

Дано:
AA’ = BB’ = CC’;
AA’ ⊥ MK; BB’ ⊥ MK; CC’ ⊥ MK;
Вершины треугольника ABC равнодалены от прямой MK, что означает, что расстояния от каждой из вершин до прямой MK одинаковы.

Докажите:
AM = MB; CK = KB;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники AA’M и BB’M:
1.1 ∠AMA’ = ∠BMB’ — вертикальные углы. Вертикальные углы всегда равны между собой. Это следует из теоремы о вертикальных углах.

1.2 Треугольники AA’M и BB’M имеют общий катет AM = BM, а также угол ∠AMA’ = ∠BMB’, который является вертикальным углом. Таким образом, по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу (по катету и углу) треугольники AA’M и BB’M равны.

1.3 Следовательно, AM = MB, что и требовалось доказать для первой стороны AB.

2) Рассмотрим треугольники CC’K и BB’K:
2.1 ∠CKC’ = ∠BKB’ — вертикальные углы. Эти углы равны, поскольку они являются вертикальными углами, образованными пересечением прямых.

2.2 Треугольники CC’K и BB’K имеют общий катет CK = BK, а также угол ∠CKC’ = ∠BKB’, который является вертикальным углом. Таким образом, применяя теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу (по катету и углу), треугольники CC’K и BB’K равны.

2.3 Следовательно, CK = KB, что и требовалось доказать для второй стороны BC.

Заключение:
Мы доказали, что AM = MB и CK = KB, что доказывает, что точки M и K являются серединами сторон AB и BC соответственно, как и требовалось.