ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 449 Мерзляк — Подробные Ответы
Высоты AM и CK треугольника ABC пересекаются в точке H, HK = HM. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Дано:
AM — высота;
CK — высота;
HK = HM.
Доказать:
Треугольник ABC — равнобедренный.
Решение:
1) Рассмотрим треугольники AKH и CMH:
<HK = <LHM — вертикальные;
<AKH = <CMH — по катету и углу;
AH = HC;
2) Рассмотрим треугольники AMC и CKA:
AM = AH + HM = CH + HK = CK;
AC — общая сторона;
<AMC = <CKA — по катету и гипотенузе;
<MCA = <KAC;
3) Рассмотрим треугольник ABC:
<ABC = <BCA;
Треугольник ABC — равнобедренный;
Что и требовалось доказать.
Дано:
AM — высота, опущенная из вершины A на сторону BC;
CK — высота, опущенная из вершины C на сторону AB;
HK = HM — отрезки, образующиеся в точке пересечения высот AM и CK.
Доказать:
Необходимо доказать, что треугольник ABC является равнобедренным.
Решение:
1) Шаг 1: Рассмотрим треугольники AKH и CMH:
- <HK = <LHM — углы HK и LHM вертикальные, так как HK и HM являются пересекающимися прямыми.
- <AKH = <CMH — по общему углу, так как угол HK является вертикальным, и прямые AM и CK</strong перпендикулярны основаниям.
- Таким образом, треугольники AKH и CMH равны по двум углам и одной стороне, то есть AH = HC.
2) Шаг 2: Рассмотрим треугольники AMC и CKA:
- AM = AH + HM = CH + HK = CK — это равенство следует из того, что обе высоты AM и CK</strong равны, а также из условия, что HK = HM.
Таким образом, отрезки, на которые делятся стороны треугольника, равны. - AC — общая сторона треугольников AMC и CKA.
- <AMC = <CKA — это условие выполняется по катету и гипотенузе, так как у нас равные катеты и одинаковые гипотенузы.
- <MCA = <KAC — углы между катетами также равны по свойствам равнобедренных треугольников.
3) Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABC:
- <ABC = <BCA — это равенство получается из свойств треугольников, где противостоящие углы равны.
- Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, так как два угла при основании равны.
Что и требовалось доказать.
