ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 450 Мерзляк — Подробные Ответы

Высоты ME и NF треугольника MKN пересекаются в точке O, OM = ON, MF = KE. Докажите, что треугольник MKN равносторонний.

Дано:

• ME — высота;
• NF — высота;
• MO = ON;
• MF = KE;

Доказать:

• ΔMKN — равносторонний;

Решение:

1) Рассмотрим треугольники FOM и EON:

• ∠FOM = ∠EON — вертикальные;
• ∠FOM = ∠EON — по гипотенузе и углу;
• EN = FM = KE;

2) Рассмотрим треугольники KEM и NEM:

• KE = EN — общая сторона;
• ΔKEM = ΔNEM — по двум катетам;
• MK = MN;

3) Рассмотрим треугольники MFN и NEM:

• MN — общая сторона;
• ΔMFN = ΔNEM — по катету и гипотенузе;
• ∠FMN = ∠ENM;

4) Рассмотрим треугольники MNK:

• ∠KMN = ∠KMN, MK = MN;
• ∠MNK — равносторонний;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• ME — высота;
• NF — высота;
• MO = ON — расстояния от точек M и N до точки пересечения высот;
• MF = KE — равенства отрезков, образующихся на высотах.

Докажем, что треугольник MKN равносторонний.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники FOM и EON:

• ∠FOM = ∠EON — вертикальные углы, так как они образуются при пересечении двух прямых;
• ∠FOM = ∠EON — эти углы равны, так как они образуются по гипотенузе и углу, который является общим для обоих треугольников;
• EN = FM = KE — следствие из равенства высот, так как они одинаковой длины.

2) Рассмотрим треугольники KEM и NEM:

• KE = EN — общая сторона для обоих треугольников;
• ΔKEM = ΔNEM — эти треугольники равны по двум катетам, так как один катет совпадает с высотой, а второй — с общей стороной;
• MK = MN — следствие из равенства катетов в равных треугольниках.

3) Рассмотрим треугольники MFN и NEM:

• MN — общая сторона;
• ΔMFN = ΔNEM — по катету и гипотенузе. Эти треугольники равны, так как катет и гипотенуза в одном треугольнике равны соответствующим сторонам другого треугольника;
• ∠FMN = ∠ENM — равенство углов следует из равенства треугольников.

4) Рассмотрим треугольники MNK:

• ∠KMN = ∠KMN — углы на основе равенства углов между высотами и сторонами;
• MK = MN — равенство сторон следует из предыдущих шагов;
• ∠MNK — равносторонний треугольник, так как все углы равны, а стороны равны.

Что и требовалось доказать. Таким образом, треугольник MKN является равносторонним, так как все его стороны и углы равны.