ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 454 Мерзляк — Подробные Ответы

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки M и K так, что BM = BK. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O. Докажите, что: 1) треугольник AOC равнобедренный; 2) прямая BO — серединный перпендикуляр отрезка AC.

Дано:

• ΔABC — равнобедренный;
• BM = BK;

Докажите:

• ΔAOC — равнобедренный;
• BO ⊥ AC; AH = HC;

Решение:

1) Треугольник ABC равнобедренный:

• AB = BC, ∠BAC = ∠BCA;

2) Рассмотрим треугольники AMC и CKA:

• AC — общая сторона;
• ∠MAC = ∠KCA;
• AM = AB = MB = BC = BK = CK;
• ΔAMC = ΔCKA — по первому признаку;
• ∠MCA = ∠KAC;

3) Рассмотрим треугольник AOC:

• ∠OCA = ∠OAC;
• ΔAOC — равнобедренный;
• OH — высота и медиана;
• OH ⊥ AC, AH = HC;

4) Треугольник ABC равнобедренный:

• BH — медиана и высота;
• BO ⊥ AC, AH = HC;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• ΔABC — равнобедренный;
• BM = BK — отрезки BM и BK равны;

Докажите:

• ΔAOC — равнобедренный;
• BO ⊥ AC — прямая BO перпендикулярна отрезку AC;
• AH = HC — отрезки AH и HC равны.

Решение:

1) Треугольник ABC равнобедренный:

• AB = BC — это свойства равнобедренного треугольника, так как ΔABC равнобедренный;
• ∠BAC = ∠BCA — углы при основании равнобедренного треугольника равны;

2) Рассмотрим треугольники AMC и CKA:

• AC — общая сторона для обоих треугольников;
• ∠MAC = ∠KCA — это углы при основании, так как BM = BK;
• AM = AB = MB = BC = BK = CK — так как все отрезки равны, получаем, что AM = MB = BK = CK;
• ΔAMC = ΔCKA — по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними);
• ∠MCA = ∠KAC — углы при общей стороне AC равны, так как треугольники равны;

3) Рассмотрим треугольник AOC:

• ∠OCA = ∠OAC — углы при основании равнобедренного треугольника;
• ΔAOC — равнобедренный, так как ∠OCA = ∠OAC;
• OH — высота и медиана, так как отрезок OH делит отрезок AC пополам и перпендикулярен AC;
• OH ⊥ AC — высота, перпендикулярная стороне AC, и медиана, делящая AC пополам;
• AH = HC — так как медиана и высота пересекаются в точке O и делят отрезок AC пополам;

4) Треугольник ABC равнобедренный:

• BH — медиана и высота, так как она также перпендикулярна стороне AC и делит её пополам;
• BO ⊥ AC — BO является серединным перпендикуляром отрезка AC;
• AH = HC — отрезки AH и HC равны, так как медиана и высота совпадают.

Что и требовалось доказать.