ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 455 Мерзляк — Подробные Ответы

На рисунке 266: AB = CD, BC = AD.

Докажите, что AO = OC.

Дано:

• AB = CD;
• BC = AD;

Доказывать:

• AO = OC.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

• ABC = ADC — по третьему признаку;
• ∠ABC = ∠ADC — по третьему признаку.

2) Для прямых BC и AD и секущей AC:

• ∠ABC = ∠ACD — по свойствам накрест лежащих углов;
• BC || AD — по свойствам параллельных прямых.

3) Для прямых BC и AD и секущей BD:

• ∠BCD = ∠BDA — по свойствам накрест лежащих углов.

4) Рассмотрим треугольники AOD и COD:

• ΔAOD = ΔCOD — по второму признаку;
• AO = OC — по второму признаку.

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AB = CD;
• BC = AD;

Доказывать:

• AO = OC.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC. Так как AB = CD и BC = AD, то по признаку равенства треугольников по трём сторонам, треугольники ABC и ADC равны:

• Треугольник ABC равен треугольнику ADC по третьему признаку равенства треугольников (сторона-сторона-сторона).
• Таким образом, равенство треугольников ABC и ADC даёт нам равенство углов: ∠ABC = ∠ADC.

2) Для прямых BC и AD и секущей AC:

Так как треугольники ABC и ADC равны, то углы при основаниях этих треугольников также равны. В частности, угол при вершине B в треугольнике ABC и угол при вершине D в треугольнике ADC:

• ∠ABC = ∠ACD — так как это углы при пересечении параллельных прямых BC и AD с секущей AC.
• Кроме того, прямые BC и AD параллельны, так как они одинаковы по длине, а значит, они не пересекаются. Это свойство накрест лежащих углов дает равенство углов.

3) Для прямых BC и AD и секущей BD:

Треугольники ABC и ADC также равны, что дает нам возможность рассматривать углы, образующиеся при пересечении прямых BC и AD секущей BD:

• ∠BCD = ∠BDA — это также углы накрест лежащие, так как прямые BC и AD пересекаются с секущей BD.
• Таким образом, мы подтверждаем, что углы ∠BCD и ∠BDA равны.

4) Рассмотрим треугольники AOD и COD:

Теперь мы можем рассмотреть треугольники AOD и COD, которые имеют общую сторону OD, и на основе ранее полученных равенств углов в этих треугольниках:

• ΔAOD = ΔCOD — так как угол AOD и угол COD равны по свойствам равных треугольников.
• AO = OC — так как мы доказали равенство треугольников AOD и COD по второму признаку равенства треугольников (по двум углам и одной стороне между ними).

Таким образом, мы доказали, что AO = OC, что и требовалось доказать.