ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 463 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, CD — высота, BD = 7 см. Найдите гипотенузу AB.

Краткий ответ:

Дано:
∠A = 30°, ∠C = 90°, CD — высота, BD = 7 см;

Найти:
AB;

Решение:
1) В прямоугольном треугольнике ABC:
∠B + ∠A = 90°
∠B + 30° = 90°
∠B = 60°;

2) В прямоугольном треугольнике BDC:
∠DCB + ∠CBD = 90°
∠DCB + 60° = 90°
∠DCB = 30°
CB = 2BD = 2 × 7 = 14;

3) В прямоугольном треугольнике ABC:
∠ABC = 30°
AB = 2CB = 2 × 14 = 28;

Ответ:
28 см.

Подробный ответ:

Дано:
∠A = 30°, ∠C = 90°, CD — высота, BD = 7 см;

Найти:
AB;

Решение:
1) В прямоугольном треугольнике ABC.
Поскольку угол C — прямой, то треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C. Известно, что ∠A = 30°.
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол B можно найти следующим образом:
∠B + ∠A = 90°
Подставляем значение угла A:
∠B + 30° = 90°
∠B = 90° — 30° = 60°.
Таким образом, угол B в треугольнике ABC равен 60°.

2) В прямоугольном треугольнике BDC.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC, в котором угол C — прямой. В нем также выполняется теорема о сумме углов:
∠DCB + ∠CBD = 90°. Поскольку угол CBD равен 60°, мы можем найти угол DCB:
∠DCB + 60° = 90°
∠DCB = 90° — 60° = 30°.
Таким образом, угол DCB равен 30°.

Теперь, используя свойства прямоугольного треугольника BDC, мы можем выразить длину стороны CB. По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике, длина отрезка CB будет в два раза больше длины отрезка BD (поскольку высота CD делит гипотенузу пополам). Следовательно,:
CB = 2BD = 2 × 7 см = 14 см.

3) В прямоугольном треугольнике ABC.
Теперь, используя свойство, что в прямоугольном треугольнике с углом 30°, гипотенуза в два раза больше катета, который находится напротив этого угла (в данном случае катет CB), мы можем найти гипотенузу AB:
AB = 2 × CB = 2 × 14 см = 28 см.

Ответ:
Гипотенуза AB = 28 см.

Оцени решение