ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 468 Мерзляк — Подробные Ответы

Биссектрисы AM и BK равностороннего треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что AO : OM = 2 : 1.

Дано:

• ΔABC — равносторонний;
• AM — биссектриса ∠BAC;
• BK — биссектриса ∠ABC;

Доказать: AO : OM = 2 : 1;

Решение:

1) Треугольник ABC равносторонний:
∠CBK = ∠CAM = 1/2 * 60° = 30°;
AM, BK — медиана и высота;
BM = AK = 1/2 AB, AM ⊥ BC, BK ⊥ AC;

2) Рассмотрим треугольники BMO и AKO:
∠MBO = ∠KAO;
ΔBMO = ΔKAO — по катету и углу;
BO = AO;

3) В прямоугольном ΔBMO:
∠MBO = 30°;
OM = 1/2 BO = 1/2 AO;
Что и требовалось доказать.

Дано:

• ΔABC — равносторонний треугольник;
• AM — биссектриса угла ∠BAC;
• BK — биссектриса угла ∠ABC;

Доказать: AO : OM = 2 : 1;

Решение:

1) Шаг 1: Треугольник ABC равносторонний. Все углы треугольника равны 60°, то есть:

• ∠CBK = ∠CAM = 60° / 2 = 30°;
• AM и BK — это медианы и высоты, так как в равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с медианами и высотами;
• BM = AK = 1/2 AB, так как медианы в равностороннем треугольнике делят сторону пополам;
• AM ⊥ BC и BK ⊥ AC, так как медианы и высоты в равностороннем треугольнике перпендикулярны противоположной стороне.

2) Шаг 2: Рассмотрим треугольники BMO и AKO:

• ∠MBO = ∠KAO, так как эти углы равны (биссектрисы делят углы пополам);
• ΔBMO = ΔKAO — эти треугольники равны по катету и углу (по теореме о равенстве треугольников по катету и углу);
• Согласно равенству треугольников, BO = AO.

3) Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBMO:

• ∠MBO = 30° — это угол между биссектрисами, который является половиной угла в равностороннем треугольнике;
• По теореме о равных катетах в прямоугольных треугольниках, OM = BO = AO.

Таким образом, получаем, что AO : OM = 2 : 1, что и требовалось доказать.