ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 469 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠B = 30°. Срединный перпендикуляр отрезка AB пересекает его в точке M, а отрезок BC — в точке K. Докажите, что MK = 1/3 BC.

Решение:

1) В прямоугольном треугольнике ΔBMK:
∠MBK = 30°;
MK = 1/2 BK;

2) Рассмотрим треугольники AMK и BMK:
MK — общая сторона;
ΔAMK = ΔBMK — по двум катетам;
∠MAK = ∠MBK = 30°;
AK = BK;

3) В прямоугольном треугольнике ΔABC:
∠A + ∠B = 90°;
∠A + 30° = 90°;
∠A = 60°;

4) В прямоугольном треугольнике ΔASK:
∠KAC = ∠A = ∠MAK = 60° — 30° = 30°;
CK = 1/2 AK = 1/2 BK;

5) BC = CK + BK = 1/2 BK + BK = 3/2 BK;
MK / BC = 1/2 BK : 3/2 BK = 1/2 : 3/2 = 1/3;

Что и требовалось доказать.

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим треугольник ΔBMK, который прямоугольный, так как угол ∠BMK = 30° (угол при точке M, где перпендикуляр пересекает отрезок AB). Зная, что это прямоугольный треугольник, мы можем записать, что:
∠MBK = 30°;
MK = 1/2 BK, так как отрезок MK является половиной отрезка BK (по свойству срединного перпендикуляра).

Шаг 2: Теперь рассмотрим треугольники AMK и BMK. Это два треугольника, которые имеют общую сторону MK, а также равны по двум катетам. В частности, угол ∠MAK = ∠MBK = 30° (по определению угла в прямоугольном треугольнике). Это позволяет утверждать, что треугольники AMK и BMK равны, и следовательно:
AK = BK, так как в этих треугольниках два соответствующих катета равны.

Шаг 3: Теперь рассмотрим треугольник ΔABC. Поскольку угол ∠C = 90° и угол ∠B = 30°, мы можем легко найти угол ∠A, сложив углы ∠A и ∠B, так как сумма углов треугольника равна 180°.
∠A + ∠B = 90°;
∠A + 30° = 90°;
∠A = 60°.

Шаг 4: Далее, рассматриваем прямоугольный треугольник ΔASK, где угол ∠KAC = ∠A = 60°, так как это один из углов треугольника, и угол ∠MAK = 30° (из-за равенства углов в предыдущем шаге). Это дает:
∠KAC = ∠A = 60° — 30° = 30°;

Шаг 5: Из треугольника ΔASK можно найти длину отрезка CK. Мы знаем, что CK = 1/2 AK и AK = BK, значит:
CK = 1/2 BK;

Шаг 6: Теперь можем вычислить длину отрезка BC. Поскольку BC = CK + BK, мы подставляем значения для CK и BK:
BC = CK + BK = 1/2 BK + BK = 3/2 BK;

Шаг 7: Наконец, вычислим отношение между отрезками MK и BC. Из предыдущих шагов мы знаем, что:
MK = 1/2 BK;
BC = 3/2 BK;

Теперь, разделив MK на BC, получаем:
MK / BC = 1/2 BK : 3/2 BK = 1/2 : 3/2 = 1/3;

Таким образом, мы доказали, что MK = 1/3 BC, как и требовалось.