ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 471 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠BAC = 60°, отрезок AD — биссектриса, отрезок CD на 3 см меньше отрезка BD. Найдите биссектрису AD.

Дано:

• ∠C = 90°
• ∠BAC = 60°
• CD = BD — 3 см;
• AD — биссектриса ⇒AD = BD;

Решение:

1) В прямоугольном треугольнике ΔACB:

• ∠A + ∠B = 90°
• 60° + ∠B = 90° ⇒ ∠B = 30°

2) Рассмотрим треугольник ADB:

• ∠BAD = 1/2 ∠A = 30° = ∠ABD;
• ΔADB — равнобедренный; AD = BD;

3) В прямоугольном треугольнике ΔACD:

• ∠DAC = 1/2 ∠A = 30°
• CD = 1/2 AD = 1/2 BD;
• BD — 3 = 1/2 BD;
• 1/2 BD = 3 ⇒ BD = 6;

Ответ: 6 см.

Дано:

• ∠C = 90°
• ∠BAC = 60°
• CD = BD — 3 см;
• AD — биссектриса ⇒ AD = BD;

Решение:

1) В прямоугольном треугольнике ΔACB:

• В прямоугольном треугольнике сумма углов всегда равна 180°, и мы знаем, что угол ∠C = 90°.
• Из этого следует, что сумма углов ∠A и ∠B должна быть равна 90°. То есть:
• ∠A + ∠B = 90°
• Но известно, что ∠BAC = 60° (дано), следовательно:
• 60° + ∠B = 90° ⇒ ∠B = 30°

2) Рассмотрим треугольник ΔADB:

• Биссектрисой угла ∠A является отрезок AD, что означает, что ∠BAD = ∠ABD (углы при вершинах A и B, образованные биссектрисой, равны).
• Так как угол ∠A = 60°, то:
• ∠BAD = 1/2 ∠A = 30° = ∠ABD;
• Так как треугольник ΔADB — равнобедренный (по определению биссектрисы), то:
• AD = BD;

3) В прямоугольном треугольнике ΔACD:

• Мы видим, что угол ∠DAC равен половине угла ∠A, так как это угол между биссектрисой и основанием:
• ∠DAC = 1/2 ∠A = 30°
• Так как треугольник ΔACD является прямоугольным, то находим отрезок CD через биссектрису:
• CD = 1/2 AD = 1/2 BD;
• Согласно условию задачи, CD на 3 см меньше BD, следовательно:
• BD — 3 = 1/2 BD;
• Решаем это уравнение для BD:
• 1/2 BD = 3 ⇒ BD = 6 см;

Ответ: Длина биссектрисы AD равна 6 см.