ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 481 Мерзляк — Подробные Ответы

Хорды AB и CD окружности с центром O равны. Докажите, что ∠AOB = ∠COD.

Дано:
AB = CD;

Докажите:
∠AOB = ∠COD.

Решение:
1) Рассмотрим окружность:
OA = OB = OC = OD = R;

2) Рассмотрим треугольники AOB и COD:
△AOB = △COD — по третьему признаку;
∠AOB = ∠COD;

Что и требовалось доказать.

Дано:
AB = CD; (Хорды окружности AB и CD равны между собой.)

Докажите:
∠AOB = ∠COD. (Нужно доказать, что углы, образованные радиусами OA, OB и OC, OD, равны.)

Решение:

1) Рассмотрим окружность с центром в точке O:

Поскольку AB и CD — хорды одной окружности, мы знаем, что радиусы окружности, проведенные из ее центра в концы хорд, равны между собой. То есть:
OA = OB = OC = OD = R, где R — радиус окружности. Мы обозначаем этот радиус одной переменной, так как все радиусы окружности равны.

2) Рассмотрим треугольники AOB и COD:

Треугольники AOB и COD являются треугольниками, у которых одна и та же структура, поскольку в каждом из них два радиуса окружности и одна хорда. Рассмотрим их подробнее:

• В треугольнике AOB мы имеем стороны OA = OB (радиусы окружности).
• В треугольнике COD мы имеем стороны OC = OD (радиусы окружности).
• Кроме того, хорды AB и CD равны, что также накладывает условие на равенство сторон.

Таким образом, оба треугольника являются равнобедренными (по двум равным сторонам). С учетом равенства всех сторон и углов этих треугольников по третьему признаку (по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними), мы можем утверждать, что:

△AOB = △COD — по третьему признаку равенства треугольников. Это означает, что углы, образованные радиусами, также равны:

∠AOB = ∠COD. (Это и требовалось доказать.)

Ответ: ∠AOB = ∠COD.