Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 483 Мерзляк — Подробные Ответы
Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что ∠BAC = ∠CDB.
Дано:
AB — диаметр;
CD — диаметр;
Докажите:
∠BAC = ∠CDB;
Решение:
1) Рассмотрим окружность с центром в точке O:
OA = OB = OC = OD = R — радиусы окружности, где R — радиус окружности.
2) Рассмотрим треугольники AOC и BOD:
∠AOC = ∠BOD — вертикальные углы;
△AOC = △BOD — по первому признаку равенства треугольников (по двум равным сторонам и углу между ними);
∠BAC = ∠DOB;
∠BAC = ∠CDB — так как ∠DOB = ∠CDB (по равенству углов на диаметре).
Что и требовалось доказать.
Дано:
AB — диаметр окружности;
CD — диаметр окружности;
Докажите:
∠BAC = ∠CDB;
Решение:
Шаг 1: Рассмотрим окружность с центром в точке O:
Из условия задачи известно, что отрезки AB и CD — диаметры окружности. Поскольку диаметр окружности проходит через её центр, то можно утверждать, что все радиусы этой окружности равны между собой. Обозначим радиус окружности буквой R. Получаем:
- OA = OB = OC = OD = R — радиусы окружности, проведенные от центра O к точкам на окружности.
Шаг 2: Рассмотрим треугольники AOC и BOD:
Важным моментом является то, что углы ∠AOC и ∠BOD — это вертикальные углы, то есть углы, образующиеся при пересечении двух прямых (в данном случае, прямых OA и OB, а также OC и OD), и они всегда равны. Таким образом, можно записать:
- ∠AOC = ∠BOD — вертикальные углы.
Теперь рассмотрим треугольники AOC и BOD. Эти два треугольника имеют следующие характеристики:
- Стороны OA и OB равны между собой, так как это радиусы окружности.
- Стороны OC и OD также равны между собой, так как это тоже радиусы окружности.
- Углы ∠AOC и ∠BOD равны, как показано выше.
Таким образом, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум равным сторонам и углу между ними):
- △AOC = △BOD — по первому признаку равенства треугольников.
Шаг 3: Доказательство равенства углов ∠BAC и ∠CDB:
Из равенства треугольников AOC и BOD следует, что углы ∠BAC и ∠CDB равны. Поскольку углы, образующиеся при пересечении двух хорд, равны углам на диаметре, мы получаем:
- ∠BAC = ∠CDB — так как углы на диаметре равны.
Ответ: ∠BAC = ∠CDB.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
