ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 483 Мерзляк — Подробные Ответы

Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что ∠BAC = ∠CDB.

Дано:
AB — диаметр;
CD — диаметр;

Докажите:
∠BAC = ∠CDB;

Решение:

1) Рассмотрим окружность с центром в точке O:

OA = OB = OC = OD = R — радиусы окружности, где R — радиус окружности.

2) Рассмотрим треугольники AOC и BOD:

∠AOC = ∠BOD — вертикальные углы;

△AOC = △BOD — по первому признаку равенства треугольников (по двум равным сторонам и углу между ними);

∠BAC = ∠DOB;

∠BAC = ∠CDB — так как ∠DOB = ∠CDB (по равенству углов на диаметре).

Что и требовалось доказать.

Дано:
AB — диаметр окружности;
CD — диаметр окружности;

Докажите:
∠BAC = ∠CDB;

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим окружность с центром в точке O:

Из условия задачи известно, что отрезки AB и CD — диаметры окружности. Поскольку диаметр окружности проходит через её центр, то можно утверждать, что все радиусы этой окружности равны между собой. Обозначим радиус окружности буквой R. Получаем:

• OA = OB = OC = OD = R — радиусы окружности, проведенные от центра O к точкам на окружности.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники AOC и BOD:

Важным моментом является то, что углы ∠AOC и ∠BOD — это вертикальные углы, то есть углы, образующиеся при пересечении двух прямых (в данном случае, прямых OA и OB, а также OC и OD), и они всегда равны. Таким образом, можно записать:

• ∠AOC = ∠BOD — вертикальные углы.

Теперь рассмотрим треугольники AOC и BOD. Эти два треугольника имеют следующие характеристики:

• Стороны OA и OB равны между собой, так как это радиусы окружности.
• Стороны OC и OD также равны между собой, так как это тоже радиусы окружности.
• Углы ∠AOC и ∠BOD равны, как показано выше.

Таким образом, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум равным сторонам и углу между ними):

• △AOC = △BOD — по первому признаку равенства треугольников.

Шаг 3: Доказательство равенства углов ∠BAC и ∠CDB:

Из равенства треугольников AOC и BOD следует, что углы ∠BAC и ∠CDB равны. Поскольку углы, образующиеся при пересечении двух хорд, равны углам на диаметре, мы получаем:

• ∠BAC = ∠CDB — так как углы на диаметре равны.

Ответ: ∠BAC = ∠CDB.