ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 490 Мерзляк — Подробные Ответы

Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что AC || BD.

Дано:
AB — диаметр;
CD — диаметр;

Докажите:
AC || BD;

Решение:

1) Рассмотрим окружность с центром в точке O:
AO = OB = OC = OD = R;

2) Рассмотрим треугольники AOC и BOD:
∠AOC = ∠BOD — вертикальные углы;
△AOC = △BOD — по первому признаку равенства треугольников;
∠ACO = ∠BDO;

3) Для прямых AC и BD и секущей CD:
∠ACD = ∠BDC;
AC || BD;

Что и требовалось доказать.

Дано:
AB — диаметр окружности;
CD — диаметр окружности;

Найти:
Докажите, что AC || BD.

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим окружность с центром в точке O:
Так как отрезки AB и CD — диаметры одной окружности, точка O является её центром. Радиусы окружности, проведенные от точки O к точкам A, B, C и D, равны между собой. Обозначим радиус окружности буквой R. Следовательно, получаем:

• AO = OB = OC = OD = R — радиусы окружности.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники AOC и BOD:
Так как ∠AOC и ∠BOD — это вертикальные углы (образуются при пересечении двух прямых, проходящих через центр окружности), то они равны:

• ∠AOC = ∠BOD — вертикальные углы.

Теперь рассмотрим треугольники AOC и BOD. Эти треугольники имеют два одинаковых радиуса окружности, и угол между ними также одинаковый. Мы можем заключить, что эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум равным сторонам и углу между ними):

• △AOC = △BOD — по первому признаку равенства треугольников.

Так как треугольники равны, то и углы, образующиеся между соответствующими сторонами, также равны. Следовательно:

• ∠ACO = ∠BDO — соответствующие углы в равных треугольниках.

Шаг 3: Рассмотрим прямые AC и BD, пересекаемые секущей CD:
Теперь, зная, что углы ∠ACO и ∠BDO равны, а отрезки AC и BD являются сторонами двух параллельных прямых, можем применить свойство, что углы при пересечении двух прямых с секущей равны между собой:

• ∠ACD = ∠BDC— углы, образующиеся при пересечении секущей CD с прямыми AC и BD.

Так как углы ∠ACD и ∠BDC равны, мы можем сделать вывод, что прямые AC и BD параллельны:

• AC || BD.

Ответ:
AC || BD.