ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 499 Мерзляк — Подробные Ответы

Отрезок AB — диаметр окружности, M — произвольная точка окружности, отличная от точек A и B. Докажите, что ∠AMB = 90°.

Дано:
AB — диаметр;
∠AMB = 90°;

Решение:

1) Проведем отрезок OM, тогда:
MO = AO = BO = R;

2) Рассмотрим треугольник ∆AOM:
AO = OM;
∆AOM — равнобедренный;
∠MAO = ∠LAMO;

3) Рассмотрим треугольник ∆BOM:
BO = OM;
∆BOM — равнобедренный;
∠MBO = ∠BMO;

4) В треугольнике ∆AMB:
∠MAB + ∠AMB + ∠LAMB = 180°;
∠MAO + ∠AMB + ∠MBO = 180°;
∠MO + ∠AMB + ∠BMO = 180°;
2∠AMB = 180°;
∠AMB = 90°.

Что и требовалось доказать.

Дано:
AB — диаметр окружности;
∠AMB = 90° — угол, который нужно доказать;

Решение:

Шаг 1: Проведем отрезок OM, где O — центр окружности:
Отрезок OM является радиусом окружности, так как O — это центр окружности, а M — точка на окружности. Также, так как AB — это диаметр окружности, то OA = OB = R, где R — радиус окружности. Следовательно, мы получаем:

• MO = AO = BO = R;

Шаг 2: Рассмотрим треугольник ∆AOM:
Так как отрезки OA и OM — это радиусы окружности, они равны. Таким образом, треугольник ∆AOM является равнобедренным, и углы при основании равны. То есть:

• ∠MAO = ∠LAMO;

Шаг 3: Рассмотрим треугольник ∆BOM:
Поскольку отрезки BO и OM также равны (оба являются радиусами окружности), треугольник ∆BOM также является равнобедренным. Углы при основании равны, и мы получаем:

• ∠MBO = ∠BMO;

Шаг 4: Используем сумму углов в треугольнике ∆AMB:
Теперь, зная, что в треугольнике ∆AMB сумма углов равна 180°, можем записать следующее уравнение для углов в треугольнике:

• ∠MAB + ∠AMB + ∠LAMO = 180°;

Подставляем выражения для углов ∠MAB и ∠LAMO, которые равны углам ∠MAO и ∠BMO, соответственно:

• ∠MAO + ∠AMB + ∠MBO = 180°;
• ∠MO + ∠AMB + ∠BMO = 180°;
• 2∠AMB = 180°;
• ∠AMB = 90°;

Ответ:
Итак, угол ∠AMB равен 90°, что и требовалось доказать.