ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 502 Мерзляк — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что AE = ED.

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AD — биссектриса ∠BAC;
CE — биссектриса ∠BCA;
Доказать: AE = ED.

Решение:

1) Треугольник ABC равнобедренный:
∠BAC = ∠BCA;

2) Рассмотрим треугольник AOC:
∠AOC = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA = ∠OCA;
∠AOC + ∠AOC + ∠OCA = 180°;
∠AOC + 1/2 ∠BAC + 1/2 ∠BAC = 180°;
∠AOC = 180° — ∠BAC;
∠AOC — равнобедренный;
AO = OC;

3) Рассмотрим треугольники AOE и COD:
∠EAO = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA = ∠DCO;
∠EOA и ∠DCO — вертикальные;
ΔAOE = ΔCOD — по второму признаку;
OE = OD;

4) Рассмотрим треугольник EOD:
∠EOD = ∠AOC — вертикальные;
ΔEOD — равнобедренный;
∠EOD = ∠ODE;
∠EOD + ∠ODE + ∠DOE = 180°;
180° — ∠BAC + ∠DOE + ∠DOE = 180°;
2∠DOE = ∠BAC;
∠DOE = 1/2 ∠BAC;

5) Рассмотрим треугольник EOD:
∠ADE = 1/2 ∠BAC = ∠EAD;
ΔEOD — равнобедренный;
AE = ED;

Что и требовалось доказать.

Дано:
ΔABC — равнобедренный треугольник;
AD — биссектриса угла ∠BAC;
CE — биссектриса угла ∠BCA;
Докажите, что AE = ED.

Решение:

Шаг 1: Треугольник ABC равнобедренный
В данном треугольнике основание AC является основанием равнобедренного треугольника, следовательно, углы при основании равны. То есть:

• ∠BAC = ∠BCA.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник AOC
Так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектрисы, проведённые из углов ∠A и ∠B, делят углы пополам. Мы можем рассмотреть угол ∠AOC и показать, что этот угол равен половине угла ∠BAC, а угол ∠OCA также равен половине угла ∠BCA:

• ∠AOC = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA = ∠OCA.

Теперь, в треугольнике AOC, где ∠AOC и ∠OCA равны, треугольник является равнобедренным. Следовательно, длины сторон AO и OC равны между собой:

• AO = OC.

Шаг 3: Рассмотрим треугольники AOE и COD
Теперь рассмотрим два треугольника — ΔAOE и ΔCOD. В этих треугольниках биссектрисы пересекаются, и мы видим, что углы ∠EAO и ∠DCO равны, так как ∠EAO = 1/2 ∠BAC и ∠DCO = 1/2 ∠BCA. Также эти углы являются вертикальными углами, что даёт равенство:

• ΔAOE = ΔCOD — по второму признаку равенства треугольников (по двум равным сторонам и углу между ними).

Следовательно, мы получаем, что:

• OE = OD.

Шаг 4: Рассмотрим треугольник EOD
Теперь обратим внимание на треугольник EOD. В этом треугольнике углы ∠EOD и ∠ODE являются вертикальными углами, а также треугольник является равнобедренным. Поэтому мы можем сказать, что:

• ∠EOD = ∠ODE.

Затем используем сумму углов в треугольнике EOD, которая равна 180°, и получаем следующее уравнение:

• ∠EOD + ∠ODE + ∠DOE = 180°.
• 180° — ∠BAC + ∠DOE + ∠DOE = 180°.
• 2∠DOE = ∠BAC.
• ∠DOE = 1/2 ∠BAC.

Шаг 5: Рассмотрим треугольник EOD и окончательное доказательство
В завершение, рассмотрим треугольник EOD. Мы знаем, что углы ∠ADE и ∠EAD равны, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно:

• ∠ADE = 1/2 ∠BAC = ∠EAD.

Треугольник ΔEOD является равнобедренным, что даёт равенство сторон AE и ED:

• AE = ED.

Ответ:
Мы доказали, что AE = ED.