Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 502 Мерзляк — Подробные Ответы
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что AE = ED.
Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AD — биссектриса ∠BAC;
CE — биссектриса ∠BCA;
Доказать: AE = ED.
Решение:
1) Треугольник ABC равнобедренный:
∠BAC = ∠BCA;
2) Рассмотрим треугольник AOC:
∠AOC = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA = ∠OCA;
∠AOC + ∠AOC + ∠OCA = 180°;
∠AOC + 1/2 ∠BAC + 1/2 ∠BAC = 180°;
∠AOC = 180° — ∠BAC;
∠AOC — равнобедренный;
AO = OC;
3) Рассмотрим треугольники AOE и COD:
∠EAO = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA = ∠DCO;
∠EOA и ∠DCO — вертикальные;
ΔAOE = ΔCOD — по второму признаку;
OE = OD;
4) Рассмотрим треугольник EOD:
∠EOD = ∠AOC — вертикальные;
ΔEOD — равнобедренный;
∠EOD = ∠ODE;
∠EOD + ∠ODE + ∠LDOE = 180°;
180° — ∠BAC + ∠LDOE + ∠LDOE = 180°;
2∠LDOE = ∠BAC;
∠LDOE = 1/2 ∠BAC;
5) Рассмотрим треугольник EOD:
∠LADE = 1/2 ∠BAC = ∠EAD;
ΔEOD — равнобедренный;
AE = ED;
Что и требовалось доказать.
Дано:
ΔABC — равнобедренный треугольник;
AD — биссектриса угла ∠BAC;
CE — биссектриса угла ∠BCA;
Докажите, что AE = ED.
Решение:
Шаг 1: Треугольник ABC равнобедренный
В данном треугольнике основание AC является основанием равнобедренного треугольника, следовательно, углы при основании равны. То есть:
- ∠BAC = ∠BCA.
Шаг 2: Рассмотрим треугольник AOC
Так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектрисы, проведённые из углов ∠A и ∠B, делят углы пополам. Мы можем рассмотреть угол ∠AOC и показать, что этот угол равен половине угла ∠BAC, а угол ∠OCA также равен половине угла ∠BCA:
- ∠AOC = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠BCA = ∠OCA.
Теперь, в треугольнике AOC, где ∠AOC и ∠OCA равны, треугольник является равнобедренным. Следовательно, длины сторон AO и OC равны между собой:
- AO = OC.
Шаг 3: Рассмотрим треугольники AOE и COD
Теперь рассмотрим два треугольника — ΔAOE и ΔCOD. В этих треугольниках биссектрисы пересекаются, и мы видим, что углы ∠EAO и ∠DCO равны, так как ∠EAO = 1/2 ∠BAC и ∠DCO = 1/2 ∠BCA. Также эти углы являются вертикальными углами, что даёт равенство:
- ΔAOE = ΔCOD — по второму признаку равенства треугольников (по двум равным сторонам и углу между ними).
Следовательно, мы получаем, что:
- OE = OD.
Шаг 4: Рассмотрим треугольник EOD
Теперь обратим внимание на треугольник EOD. В этом треугольнике углы ∠EOD и ∠ODE являются вертикальными углами, а также треугольник является равнобедренным. Поэтому мы можем сказать, что:
- ∠EOD = ∠ODE.
Затем используем сумму углов в треугольнике EOD, которая равна 180°, и получаем следующее уравнение:
- ∠EOD + ∠ODE + ∠LDOE = 180°.
- 180° — ∠BAC + ∠LDOE + ∠LDOE = 180°.
- 2∠LDOE = ∠BAC.
- ∠LDOE = 1/2 ∠BAC.
Шаг 5: Рассмотрим треугольник EOD и окончательное доказательство
В завершение, рассмотрим треугольник EOD. Мы знаем, что углы ∠LADE и ∠EAD равны, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно:
- ∠LADE = 1/2 ∠BAC = ∠EAD.
Треугольник ΔEOD является равнобедренным, что даёт равенство сторон AE и ED:
- AE = ED.
Ответ:
Мы доказали, что AE = ED.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
