ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 503 Мерзляк — Подробные Ответы

Из точки O через точки A, B и C проведены лучи OA, OB и OC. Известно, что OA = OB = OC, ∠AOB = 80°, ∠BOC = 110°, ∠AOC = 170°. Найдите углы треугольника ABC.

Дано:
OA = OB = OC;
∠AOB = 80°;
∠BOC = 110°;
∠AOC = 170°;

Найти:
∠BAC;
∠BCA;
∠ABC;

Решение:

1) ΔAOC равнобедренный:
∠OAC = ∠OCA;
∠OAC + 170° + ∠OCA = 180°;
2∠OAC = 10°;
∠OAC = 5°;

2) ΔAOB равнобедренный:
∠OAB = ∠OBA;
∠OAB + 80° + ∠OBA = 180°;
2∠OAB = 100°;
∠OAB = 50°;

3) ΔBOC равнобедренный:
∠OBC = ∠OCB;
∠OBC + 110° + ∠OCB = 180°;
2∠OBC = 70°;
∠OBC = 35°;

4) Углы треугольника ABC:
∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = 50° + 5° = 55°;
∠BCA = ∠OBC + ∠OCA = 35° + 5° = 40°;
∠ABC = ∠OAB + ∠OBA = 50° + 35° = 85°;

Ответ:
∠BAC = 55°;
∠BCA = 40°;
∠ABC = 85°.

Дано:
OA = OB = OC;
∠AOB = 80°;
∠BOC = 110°;
∠AOC = 170°;

Найти:
∠BAC;
∠BCA;
∠ABC;

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим треугольник ∆AOC.
В треугольнике ∆AOC мы видим, что отрезки OA и OC равны, так как OA = OB = OC (по условию задачи). Значит, треугольник ∆AOC является равнобедренным. В этом случае углы ∠OAC и ∠OCA равны. Используем сумму углов в треугольнике, которая равна 180°:

• ∠OAC + 170° + ∠OCA = 180°;
• 2∠OAC + 170° = 180°;
• 2∠OAC = 180° — 170° = 10°;
• ∠OAC = 5°;

Шаг 2: Рассмотрим треугольник ∆AOB.
В треугольнике ∆AOB также два равных отрезка: OA = OB. Следовательно, этот треугольник также равнобедренный. Углы ∠OAB и ∠OBA равны. Используем те же рассуждения, что и в шаге 1. Сумма углов в треугольнике ∆AOB равна 180°:

• ∠OAB + 80° + ∠OBA = 180°;
• 2∠OAB + 80° = 180°;
• 2∠OAB = 180° — 80° = 100°;
• ∠OAB = 50°;

Шаг 3: Рассмотрим треугольник ∆BOC.
В треугольнике ∆BOC отрезки BO и OC равны, так как OA = OB = OC. Следовательно, треугольник ∆BOC также равнобедренный. Углы ∠OBC и ∠OCB равны. Рассчитываем угол ∠OBC, используя сумму углов в треугольнике ∆BOC:

• ∠OBC + 110° + ∠OCB = 180°;
• 2∠OBC + 110° = 180°;
• 2∠OBC = 180° — 110° = 70°;
• ∠OBC = 35°;

Шаг 4: Углы треугольника ABC.
Теперь, когда мы нашли все углы в треугольниках, содержащих углы треугольника ABC, мы можем вычислить углы треугольника ABC, используя суммы углов в треугольниках:

• ∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = 50° + 5° = 55°;
• ∠BCA = ∠OBC + ∠OCA = 35° + 5° = 40°;
• ∠ABC = ∠OAB + ∠OBA = 50° + 35° = 85°;

Ответ:
∠BAC = 55°;
∠BCA = 40°;
∠ABC = 85°.