ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 504 Мерзляк — Подробные Ответы

На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM, луч MK — биссектриса угла AMC. Докажите, что MK || BC.

Дано:
BM = CM;
MK — биссектриса ∠AMC;

Решение:

1) Рассмотрим треугольник BMC:
BM = CM;
ΔBMC — равнобедренный;
∠MBC = ∠MCB;

∠MBC + ∠BCM + ∠MCB = 180°;
2∠MBC + ∠BCM = 180°;
2∠MBC = 180° — ∠BCM;

2) Сумма смежных углов:
∠AMC + ∠MBC = 180°;
2∠CMK + ∠MBC = 180°;
2∠CMK = 180° — ∠MBC;

3) Для прямых MK и BC и секущей MC:
∠CMK = ∠BCM;
CMR = 2LBCM;
MK || BC;

Что и требовалось доказать.

Дано:
BM = CM;
MK — биссектриса угла ∠AMC;

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим треугольник BMC.
Поскольку BM = CM, то треугольник BMC является равнобедренным. Следовательно, углы при основании этого треугольника равны, то есть:

• ∠MBC = ∠MCB.

Теперь, используя теорему о сумме углов в треугольнике, можно записать:

• ∠MBC + ∠BCM + ∠MCB = 180°;
• 2∠MBC + ∠BCM = 180°;
• 2∠MBC = 180° — ∠BCM.

Шаг 2: Рассмотрим смежные углы.
Углы ∠AMC и ∠MBC являются смежными углами, так как луч MK пересекает прямую AB. Сумма этих углов равна 180°. Таким образом, мы имеем следующее уравнение:

• ∠AMC + ∠MBC = 180°;
• 2∠CMK + ∠MBC = 180°;
• 2∠CMK = 180° — ∠MBC.

Шаг 3: Рассмотрим прямые MK и BC и секущую MC.
Теперь, используя теорему о биссектрисе, которая пересекает угол и разделяет противоположные стороны, мы приходим к равенству углов ∠CMK и ∠BCM. Это означает, что прямые MK и BC параллельны:

• ∠CMK = ∠BCM;
• MK || BC.

Ответ:
Итак, мы доказали, что MK || BC.