Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 505 Мерзляк — Подробные Ответы
В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен 160°. Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведенные из двух других вершин треугольника.
Дано:
∠BCD = 160°;
AE, BF — высоты;
Найти:
∠AOF;
Решение:
1) В прямоугольном треугольнике ∆CFO:
∠COF + ∠COF = 90°;
∠COF = 90° — ∠COF;
2) В прямоугольном треугольнике ∆EOO:
∠COE + ∠COE = 90°;
3) Сумма смежных углов:
∠ACB + ∠BCD = 180°;
∠ACB + 160° = 180°;
∠ACB = 20°;
4) Угол между высотами:
∠EOF = ∠COE + ∠COF;
∠EOF = 90° — ∠COE + 90° — ∠COF;
∠EOF = 180° — (∠COE + ∠COF);
∠EOF = 180° — ∠ACB = 160°;
5) Сумма смежных углов:
∠AOF + ∠FOE = 180°;
∠AOF + 160° = 180°;
∠AOF = 20°;
Ответ:
∠AOF = 20°.
Дано:
∠BCD = 160°;
AE, BF — высоты;
Найти:
∠AOF;
Решение:
Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆CFO.
В прямоугольном треугольнике ∆CFO углы ∠COF являются прямыми. Так как угол ∠COF — это угол между высотами, проведенными из вершин C и O, можно записать:
- ∠COF + ∠COF = 90°;
- Так как углы ∠COF равны, то мы получаем: ∠COF = 90° — ∠COF.
Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆EOO.
В этом треугольнике углы ∠COE равны 90°, и, следовательно, также можно найти их значение в контексте формулы для углов между высотами.
Шаг 3: Сумма смежных углов в треугольнике ABC.
Теперь рассчитаем угол ∠ACB, который является углом в треугольнике. Мы используем правило о том, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда:
- ∠ACB + ∠BCD = 180°;
- ∠ACB + 160° = 180°;
- ∠ACB = 20°.
Шаг 4: Угол между высотами.
Теперь мы можем найти угол между высотами, используя данные из треугольников. Рассматриваем угол ∠EOF, который образуют высоты. Сначала выражаем угол в терминах других углов:
- ∠EOF = ∠COE + ∠COF;
- ∠EOF = 90° — ∠COE + 90° — ∠COF;
- ∠EOF = 180° — (∠COE + ∠COF);
- ∠EOF = 180° — ∠ACB = 160°.
Шаг 5: Сумма смежных углов.
Теперь, используя теорему о смежных углах, находим угол ∠AOF:
- ∠AOF + ∠FOE = 180°;
- ∠AOF + 160° = 180°;
- ∠AOF = 20°.
Ответ:
∠AOF = 20°.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
