ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 505 Мерзляк — Подробные Ответы

В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен 160°. Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведенные из двух других вершин треугольника.

Дано:
∠BCD = 160°;
AE, BF — высоты;

Найти:
∠AOF;

Решение:

1) В прямоугольном треугольнике ∆CFO:
∠COF + ∠COF = 90°;
∠COF = 90° — ∠COF;

2) В прямоугольном треугольнике ∆EOO:
∠COE + ∠COE = 90°;

3) Сумма смежных углов:
∠ACB + ∠BCD = 180°;
∠ACB + 160° = 180°;
∠ACB = 20°;

4) Угол между высотами:
∠EOF = ∠COE + ∠COF;
∠EOF = 90° — ∠COE + 90° — ∠COF;
∠EOF = 180° — (∠COE + ∠COF);
∠EOF = 180° — ∠ACB = 160°;

5) Сумма смежных углов:
∠AOF + ∠FOE = 180°;
∠AOF + 160° = 180°;
∠AOF = 20°;

Ответ:
∠AOF = 20°.

Дано:
∠BCD = 160°;
AE, BF — высоты;

Найти:
∠AOF;

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆CFO.
В прямоугольном треугольнике ∆CFO углы ∠COF являются прямыми. Так как угол ∠COF — это угол между высотами, проведенными из вершин C и O, можно записать:

• ∠COF + ∠COF = 90°;
• Так как углы ∠COF равны, то мы получаем: ∠COF = 90° — ∠COF.

Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆EOO.
В этом треугольнике углы ∠COE равны 90°, и, следовательно, также можно найти их значение в контексте формулы для углов между высотами.

Шаг 3: Сумма смежных углов в треугольнике ABC.
Теперь рассчитаем угол ∠ACB, который является углом в треугольнике. Мы используем правило о том, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда:

• ∠ACB + ∠BCD = 180°;
• ∠ACB + 160° = 180°;
• ∠ACB = 20°.

Шаг 4: Угол между высотами.
Теперь мы можем найти угол между высотами, используя данные из треугольников. Рассматриваем угол ∠EOF, который образуют высоты. Сначала выражаем угол в терминах других углов:

• ∠EOF = ∠COE + ∠COF;
• ∠EOF = 90° — ∠COE + 90° — ∠COF;
• ∠EOF = 180° — (∠COE + ∠COF);
• ∠EOF = 180° — ∠ACB = 160°.

Шаг 5: Сумма смежных углов.
Теперь, используя теорему о смежных углах, находим угол ∠AOF:

• ∠AOF + ∠FOE = 180°;
• ∠AOF + 160° = 180°;
• ∠AOF = 20°.

Ответ:
∠AOF = 20°.