ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 511 Мерзляк — Подробные Ответы

На рисунке 295 точка O — центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде AB. Докажите, что ∠AOD = ∠BOD.

Дано:
CD — диаметр;
CD ⊥ AB;

Решение:

1. Рассмотрим окружность:
   OA = OB = R, O ∈ CD;
2. ΔAOB равнобедренный:
   OE — высота и биссектриса;
   ∠AOE = ∠BOE;
   ∠AOD = ∠BOD;
3. Что и требовалось доказать.

Дано:
CD — диаметр;
CD ⊥ AB (диаметр перпендикулярен хорде AB).

Решение:

1) Рассмотрим окружность:
Так как O — центр окружности и CD — диаметр, то OA = OB = R, где R — радиус окружности. Точка O лежит на диаметре CD, а значит, расстояния от точки O до точек A и B равны, то есть OA = OB.

2) Треугольник ΔAOB равнобедренный:
В треугольнике ΔAOB равные стороны — это OA = OB, так как они являются радиусами окружности. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при равных сторонах равны, то ∠AOB = ∠BOA.

3) Оценим перпендикулярность и биссектрису:
Известно, что диаметр окружности перпендикулярен хорде, а также что отрезок, проведенный из центра окружности перпендикулярно хорде, является не только высотой, но и биссектрисой угла, образуемого этой хордой. То есть линия OE является и высотой, и биссектрисой углов ∠AOB и ∠BOE.

4) Преобразуем углы:
Поскольку OE является и высотой, и биссектрисой, то углы ∠AOE = ∠BOE. Это приводит нас к тому, что углы ∠AOD и ∠BOD равны, так как они являются суммой углов, образующихся при пересечении высоты и биссектрисы.

5) Заключение:
Таким образом, мы доказали, что углы ∠AOD = ∠BOD. Это и требовалось доказать.