ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 515 Мерзляк — Подробные Ответы

Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB — хорда окружности, ∠BAD = 35° (рис. 296).

Дано:
∠BAD = 35°
CD — касатель;

Найти:
∠AOB;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:
OA = OB = R;
OA ⊥ CD;

2) Треугольник AOD равнобедренный:
∠OAB = ∠OAD = ∠BAD;
∠OAB = 90° − 35° = 55°;
∠OAB = ∠OBA = 55°;

3) Сумма углов:
∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°;
55° + 55° + ∠AOB = 180°;
∠AOB = 70°.

Ответ:
∠AOB = 70°

Дано:

• ∠BAD = 35° — угол между касательной и хордой;
• CD — касательная к окружности;
• OA = OB = R — радиусы окружности;
• OA ⊥ CD — радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Найти:
∠AOB — угол между радиусами, проведенными в точку касания и в точку B.

Решение:

1) Рассмотрим окружность:
Поскольку OA и OB — радиусы окружности, то они равны:
OA = OB = R;
Также известно, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной:
OA ⊥ CD;

2) Треугольник AOD равнобедренный:
В треугольнике AOD два равных радиуса, следовательно, угол ∠OAD равен углу ∠OAB:
∠OAB = ∠OAD = ∠BAD;
Теперь подставим значения углов:
∠OAB = 90° — 35° = 55°
То есть ∠OAB = ∠OBA = 55°, так как треугольник равнобедренный.

3) Сумма углов в треугольнике:
Сумма углов в треугольнике AOB составляет 180°, так как это плоский угол:

∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°
Подставляем найденные значения углов:

55° + 55° + ∠AOB = 180°
Решаем это уравнение:

∠AOB = 180° — 110° = 70°

Ответ:
∠AOB = 70°