ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 516 Мерзляк — Подробные Ответы

Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB — хорда окружности, ∠AOB = 80° (рис. 296). Найдите угол ∠BAC.

Дано:

• ∠AOB = 80°
• CD — касатель;

Найти:

• ∠BAC

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = R;
• OA ⊥ CD;

2) ΔAOB равнобедренный:

• ∠OAB = ∠OBA;
• ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°;
• ∠OAB + ∠OBA + 80° = 180°;
• 2∠OAB = 100°;
• ∠OAB = 50°;

3) Искомый угол:

• ∠BAC = ∠BAO + ∠OAC;
• ∠BAC = 50° + 90°;
• ∠BAC = 140°;

Ответ: 140°

Дано:

• ∠AOB = 80° — угол между радиусами окружности;
• CD — касательная к окружности;
• AB — хорда окружности.

Найти:

• ∠BAC — угол между хордой AB и касательной CD.

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• Из условия задачи, точка O — центр окружности, а значит, радиусы OA и OB равны между собой, то есть OA = OB = R.
• Так как прямые OA и OB образуют угол ∠AOB, а прямая CD касается окружности в точке A, то прямая CD перпендикулярна радиусу OA в точке касания. Следовательно, OA ⊥ CD.

2) Рассмотрим треугольник ΔAOB:

• Этот треугольник является равнобедренным, так как OA = OB.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть ∠OAB = ∠OBA.
• Из суммы углов в треугольнике получаем: ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°.
• Подставляем известное значение угла ∠AOB = 80° в уравнение: ∠OAB + ∠OBA + 80° = 180°.
• Сумма углов при основании равнобедренного треугольника: 2∠OAB = 180° — 80° = 100°.
• Следовательно, ∠OAB = 100° / 2 = 50°.

3) Искомый угол:

• Из геометрии известно, что угол между хордой и касательной равен углу, который эта хорда подбрасывает в центре окружности. То есть: ∠BAC = ∠BAO + ∠OAC.
• Поскольку ∠OAC — это угол между радиусами, то он составляет 90° (это угол между радиусами и касательной).
• Следовательно, ∠BAC = ∠BAO + 90° = 50° + 90° = 140°.

Ответ: ∠BAC = 140°.