ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 519 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

Дано:

• AB — хорда;
• BC — диаметр;

Докажите:

• BC > AB;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = OC = R;
• BC = OB + OC = 2R;

2) В треугольнике AOB:

• OA + OB > AB;
• R + R > AB;
• 2R > AB;
• BC > AB;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AB — хорда;
• BC — диаметр;

Докажите:

• BC > AB;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• Пусть O — центр окружности, R — радиус окружности.
• Так как BC является диаметром окружности, то длина диаметра BC = OB + OC = 2R, где OB и OC — радиусы окружности, и R — это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности.

2) Рассмотрим треугольник AOB:

• Треугольник AOB — это прямоугольный треугольник, так как радиус, проведённый к хорде, делит её пополам и образует прямой угол.
• Из теоремы о сумме сторон треугольника (сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей) мы можем записать для треугольника AOB:
• Сумма сторон OA + OB больше стороны AB, так как расстояние от центра окружности до любых точек на окружности всегда больше длины хорды, которая лежит внутри окружности.
• Следовательно, из неравенства мы получаем: OA + OB > AB;
• Так как OA = OB = R, подставляем в неравенство: R + R > AB;
• Это неравенство упрощается до: 2R > AB;
• Таким образом, длина хорды AB меньше диаметра окружности BC = 2R, что и требовалось доказать.

Ответ: Диаметр окружности BC, который равен 2R, всегда больше любой хорды AB, отличной от диаметра. Это связано с тем, что в прямоугольном треугольнике, образованном радиусами, сумма длин двух сторон (радиусов) всегда больше длины хорды, которая находится между ними. Таким образом, BC > AB, что и требовалось доказать.