ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 525 Мерзляк — Подробные Ответы

Через точку C окружности с центром O провели касательную к этой окружности, AB — диаметр окружности. Из точки A на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч AC — биссектрисы угла BAD.

Дано:

• AB — диаметр;
• DC — касатель;
• AD ⊥ CD;

Найти:

• AC — биссектрису ∠BAD;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = R;
• OC ⊥ CD;

2) Треугольник ΔACO равнобедренный:

• ∠ACO = ∠CAO;

3) В прямоугольном ΔADC:

• ∠CAD = 90° − ∠CAO;
• ∠CAD = 90° − ∠CAD;
• ∠ADC = 90° − 90° + ∠CAO;
• ∠CAD = ∠CAO;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AB — диаметр;
• DC — касатель;
• AD ⊥ CD;

Найти:

• AC — биссектрису ∠BAD;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OA = OB = R (радиус окружности);
• OC ⊥ CD (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания);

2) Треугольник ΔACO равнобедренный:

• Так как OA = OC = R, то ∠ACO = ∠CAO (углы при основании равнобедренного треугольника равны);

3) В прямоугольном треугольнике ΔADC:

• ∠CAD = 90° − ∠CAO (так как ∠CAD и ∠CAO являются дополнительными углами в треугольнике);
• ∠CAD = 90° − ∠CAD (замена угла, так как ∠CAD и ∠CAD образуют развернутый угол);
• ∠ADC = 90° − 90° + ∠CAO (упрощаем, используя результат из предыдущего пункта);
• ∠CAD = ∠CAO (это завершает доказательство, что луч AC является биссектрисой угла BAD);

Что и требовалось доказать.