Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 526 Мерзляк — Подробные Ответы
«Прямая AC касается окружности с центром O в точке A (рис. 297). Докажите, что угол BAC в 2 раза меньше угла AOB.»
Дано:
- AC — касатель;
Докажите:
- ∠BAC = 1/2 ∠OAB;
Решение:
1) Рассмотрим окружность:
- OA = OB = R;
- OA ⊥ AC;
2) Треугольник △OAB равнобедренный:
- ∠OBA = ∠OAB;
- ∠OBA + ∠OAB + ∠OAB = 180°;
- ∠OAB = 180° — 2 ∠OAB;
- ∠OAB = 2 (90° — ∠OAB);
3) Искомый угол:
- ∠AC = ∠OAB + ∠BAC = 90°;
- ∠BAC = 90° — ∠OAB = 1/2 ∠OAB;
Что и требовалось доказать.
Дано:
- Прямая AC — касательная к окружности.
- Точка касания — точка A.
- Центр окружности — точка O.
Нужно доказать:
- Угол ∠BAC в 2 раза меньше угла ∠OAB, т.е. ∠BAC = 1/2 ∠OAB.
Решение:
1) Рассмотрим окружность:
- Радиус окружности равен R, т.е. OA = OB = R.
- Так как прямая AC касается окружности в точке A, то прямая OA перпендикулярна касательной AC. То есть OA ⊥ AC.
2) Треугольник ΔOAB равнобедренный:
- В треугольнике ΔOAB два равных радиуса OA = OB, следовательно, треугольник ΔOAB является равнобедренным.
- Из этого следует, что углы при основании равны, то есть ∠OBA = ∠OAB.
3) Определение углов в треугольнике ΔOAB:
- Сумма всех углов в треугольнике равна 180°:
∠OBA + ∠OAB + ∠OAB = 180°. - Подставляем ∠OBA = ∠OAB:
∠OAB + ∠OAB + ∠OAB = 180°, что даёт:
2 ∠OAB + ∠OAB = 180°. - Решаем для ∠OAB:
3 ∠OAB = 180°, отсюда ∠OAB = 60°.
4) Искомый угол ∠BAC:
- Так как прямой угол между касательной и радиусом OA, то угол ∠BAC можно выразить через угол ∠OAB.
- Сумма углов ∠OAB и ∠BAC даёт прямой угол, то есть:
∠OAB + ∠BAC = 90°. - Подставляем ∠OAB = 60°:
60° + ∠BAC = 90°, отсюда ∠BAC = 30°.
5) Проверка соотношения углов:
- Мы знаем, что ∠OAB = 60° и ∠BAC = 30°.
- Является ли ∠BAC в 2 раза меньше ∠OAB?
∠BAC = 1/2 ∠OAB: - Подставляем значения:
30° = 1/2 * 60°, что верно!
Заключение: Таким образом, мы доказали, что угол ∠BAC в 2 раза меньше угла ∠OAB, как и требовалось доказать.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.