ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 528 Мерзляк — Подробные Ответы

Известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что CD также является диаметром.

Дано:

• AB — диаметр;
• CE = ED;
• ∠AED ≠ 90°;

Доказать:

• CD — диаметр;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• OD = OC = R;

2) Пусть CD не диаметр, тогда:

• COD — треугольник;

3) ΔCOD равнобедренный:

• OE — медиана и высота;
• OE ⊥ CD;

4) Возникло противоречие:

• CD — диаметр;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AB — диаметр окружности;
• CE = ED — хорда CD делится диаметром AB пополам;
• ∠AED ≠ 90° — угол между диаметром AB и хордами не прямой;

Доказать:

• CD — диаметр окружности.

Решение:

1) Шаг 1: Рассмотрим окружность. Поскольку AB — диаметр, то радиусы OB и OA равны:

• OD = OC = R — радиус окружности.

2) Шаг 2: Пусть CD не является диаметром. Рассмотрим треугольник ∆COD, где O — центр окружности. В таком случае, мы получаем:

• Треугольник ∆COD является треугольником, в котором OE — медиана, делящая сторону CD пополам;
• OE также будет являться высотой, так как OE перпендикулярна CD (∠OEC = 90°).

3) Шаг 3: В треугольнике ∆COD, так как OE является медианой и высотой, то треугольник ∆COD должен быть равнобедренным, то есть:

• CO = DO;
• Угол ∠COD равен углу ∠DO;

4) Шаг 4: Но это приводит к противоречию, так как CD не может быть одновременно и хордой, и диаметром окружности, если она делится диаметром пополам, но не перпендикулярна ему.

5) Шаг 5: Из этого следует, что наша первоначальная гипотеза о том, что CD не является диаметром, неверна. Следовательно, CD является диаметром окружности.

Что и требовалось доказать.