ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 533 Мерзляк — Подробные Ответы

Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжений двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC.

Дано:

• BA, CE, CF — касают;

Доказать:

• BC + BM = 1/2 PABC;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• CE = CF, BE = BM, AF = AM;

2) В треугольнике ABC:

• PABC = AB + BC + AC;
• PABC = AM + BM + BC + AC;
• PABC = AF + BE + BC + AC;
• PABC = CE + CF = CE + CE;
• PABC = 2CE;

3) 1/2 PABC = CE = BC + BE;

4) 1/2 PABC = BC + BM;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• BA, CE, CF — касательные;

Доказать:

• BC + BM = 1/2 PABC;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• CE = CF (касательные из точки C);
• BE = BM (касательные из точки B);
• AF = AM (касательные из точки A);

2) Рассмотрим периметр треугольника ABC:

• PABC = AB + BC + AC;
• Теперь рассмотрим более сложную форму для периметра:
• PABC = AM + BM + BC + AC;
• PABC = AF + BE + BC + AC;
• Также можем выразить периметр через касательные:
• PABC = CE + CF = CE + CE;
• PABC = 2CE;

3) Теперь перейдём к доказательству:

• Так как PABC = 2CE, получаем:
• 1/2 PABC = CE = BC + BE;
• Замещая BE через BM (так как BE = BM), получаем:
• 1/2 PABC = BC + BM;

Что и требовалось доказать:

Таким образом, сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC, что и требовалось доказать.