ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 535 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что середина M отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку M и концы которого принадлежат этим прямым.

Дано:

• AB || CD;
• AM = MD;

Докажите:

• MB = MC;

Решение:

1) Для прямых AB и CD и секущей AD:

• ∠BAD = ∠CDA;

2) Рассмотрим треугольники AMB и DMC:

• ∠AMB = ∠DMC — вертикальные;
• ∠BAM = ∠CDM;
• ∆AMB = ∆DMC по второму признаку;
• BM = MC;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AB || CD — прямые AB и CD параллельны;
• AM = MD — точка M является серединой отрезка AD;

Докажите:

• MB = MC — нужно доказать, что отрезки BM и MC равны.

Решение:

1) Для прямых AB и CD и секущей AD рассмотрим угол BAD и угол CDA.

• Так как прямые AB и CD параллельны, а AD — секущая, то углы ∠BAD и ∠CDA — соответственные углы, следовательно, они равны:
• ∠BAD = ∠CDA;

2) Теперь рассмотрим треугольники AMB и DMC. Мы будем использовать признаки равенства треугольников.

• В этих треугольниках угол ∠AMB и угол ∠DMC — вертикальные углы, а значит, они равны:
• ∠AMB = ∠DMC;
• Кроме того, углы ∠BAM и ∠CDM — соответственные углы, так как прямые AB и CD параллельны, и они тоже равны:
• ∠BAM = ∠CDM;
• Итак, мы имеем два равных угла (∠AMB = ∠DMC и ∠BAM = ∠CDM), а также равные стороны (AM = MD, так как M — середина отрезка AD). Это позволяет заключить, что треугольники AMB и DMC равны по второму признаку равенства треугольников (по двум углам и одной стороне между ними):
• ∆AMB = ∆DMC;
• Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, то есть:
• BM = MC;

Что и требовалось доказать.