ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 546 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, проведенной к его основанию.

Дано:

• ΔABC — равнобедренный;
• O — ц. впис. окр;
• CH — высота;

Докажите:

• O ∈ CH;

Решение:

1) ΔABC равнобедренный:

• CH — высота;
• CH — биссектриса;

2) Рассмотрим окружность:

• ∠ACH = ∠BCH;
• O ∈ CH;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• ΔABC — равнобедренный;
• O — центр вписанной окружности;
• CH — высота, проведенная к основанию AB;

Необходимо доказать:

• O ∈ CH (центр вписанной окружности принадлежит высоте).

Решение:

1) Рассмотрим ΔABC — равнобедренный треугольник:

• Так как треугольник равнобедренный, то основания AB и AC равны.
• Следовательно, углы ∠CAB = ∠ABC.

2) Высота CH из вершины C делит основание AB пополам:

• Так как CH — высота, то она перпендикулярна основанию AB и делит его на два равных отрезка.
• Поэтому, ΔAHC = ΔBHC — это прямоугольные треугольники, и они равны.

3) Биссектриса CH совпадает с высотой:

• Поскольку ΔABC — равнобедренный треугольник, биссектриса из вершины C также будет совпадать с высотой.
• Таким образом, линия CH является и биссектрисой, и высотой, что позволяет утверждать, что она проходит через центр вписанной окружности.

4) Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник:

• Центр вписанной окружности находится на биссектрисе угла ∠ABC и ∠ACB, а также на высоте CH, поскольку они совпадают в этом случае.

5) Следовательно, центр вписанной окружности O лежит на высоте CH:

• Таким образом, O ∈ CH, что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать.