ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 554 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

Дано:

• О — ц. опис. окруж;
• СН — высота;
• О ∈ СН;

Докажите:

• ΔАСВ — равнобед;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:

• СН ⊥ АВ, О ∈ СН;
• АН = НВ;

2) Рассмотрим треугольник АВС:

• СН — высота и медиана;
• ΔАВС — равнобедренный;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• О — центр описанной окружности;
• СН — высота, опущенная из вершины C на основание AB;
• О ∈ СН — центр окружности лежит на высоте СН;

Докажем:

• ΔАСВ — равнобедренный треугольник.

Решение:

1) Рассмотрим окружность, описанную около треугольника. Поскольку О — центр этой окружности, то, по определению, О равноудалено от всех вершин треугольника. То есть:

• О лежит на перпендикуляре к основанию АВ, который является высотой треугольника. Таким образом, по теореме о перпендикуляре из центра описанной окружности, мы имеем: СН ⊥ АВ.
• Поскольку точка О лежит на высоте СН, то расстояния от О до точек А и В равны, то есть: АН = НВ. Это означает, что точка О делит основание АВ пополам.

2) Теперь рассмотрим треугольник АВС:

• Так как СН — это и высота, и медиана (медиана делит основание пополам), то треугольник АВС является равнобедренным, поскольку медиана, проведенная к основанию, также является высотой.
• Следовательно, треугольник АВС — равнобедренный, так как две стороны, проведенные от вершины С, равны.

Что и требовалось доказать.