ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 561 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник прямоугольный.

Дано:
O — центр описанной окружности;
O ∈ AB;

Доказать:
ΔABC — равнобедренный;

Решение:

1) Рассмотрим окружность:
OA = OB = OC;

2) ΔAOC равнобедренный:
∠AOC = 180° — 2∠OCA;

3) ΔBOC равнобедренный:
∠BOC = 180° — 2∠OCB;

4) Сумма смежных углов:
∠AOC + ∠BOC = 180°;
180° — 2∠OCA + 180° — 2∠OCB = 180°;
2∠OCA + 2∠OCB = 360° — 180°;
2(∠OCA + ∠OCB) = 180°;
∠ACB = 90°;

Что и требовалось доказать.

Дано:
O — центр описанной окружности;
O ∈ AB;

Доказать:
ΔABC — прямоугольный.

Решение:

1) Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ΔABC. Из свойств окружности, описанной около треугольника, известно, что радиусы всех трех сторон треугольника равны. То есть:
OA = OB = OC;

2) Поскольку точка O лежит на стороне AB, то треугольник ΔAOC является равнобедренным. Рассмотрим угол ∠AOC, который является центральным углом для дуги AC. Тогда:

• ∠AOC = 180° — 2∠OCA. Здесь ∠OCA — это угол между радиусом OA и касательной к окружности в точке A.

3) Аналогично, треугольник ΔBOC также равнобедренный, и угол ∠BOC, который является центральным углом для дуги BC, можно выразить через угол ∠OCB:

• ∠BOC = 180° — 2∠OCB.

4) Теперь рассмотрим сумму смежных углов. Мы знаем, что сумма углов вокруг точки O должна быть равна 360°, так как она окружает полную окружность. Поэтому:

• ∠AOC + ∠BOC = 180°;
• Подставляем значения: 180° — 2∠OCA + 180° — 2∠OCB = 180°;
• Упрощаем выражение: 2∠OCA + 2∠OCB = 360° — 180°;
• Получаем: 2(∠OCA + ∠OCB) = 180°;
• Таким образом, ∠ACB = 90°.

Что и требовалось доказать: треугольник ΔABC — прямоугольный.