Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
Учебник выделяется своей структурированной подачей материала. Каждая тема разбита на понятные разделы с четко сформулированными целями и понятиями, сопровождающимися наглядными иллюстрациями. Это способствует лучшему усвоению теоретических основ и развитию пространственного мышления.
Особое внимание уделяется практическим заданиям: в конце каждой главы представлено множество упражнений разного уровня сложности, которые позволяют закрепить знания и подготовиться к контрольным работам.
Основные достоинства учебника:
Понятное и доступное изложение — материал преподнесен языком, понятным школьникам, при этом без потери точности и строгости.
Наглядность — многочисленные схемы и рисунки помогают лучше понять геометрические фигуры и их свойства.
Разнообразие заданий — от простых упражнений до сложных задач, развивающих логическое мышление и творческий подход.
Связь с реальной жизнью — авторы приводят примеры применения геометрии в окружающем мире, что делает изучение предмета более интересным и мотивирующим.
Последовательность и системность — темы преподаются в логическом порядке, что обеспечивает плавный переход от простого к сложному.
В целом, учебник Мерзляка, Полонского и Якира — это надежный помощник для учеников и учителей, который делает изучение геометрии увлекательным и эффективным процессом. Он способствует развитию аналитического мышления и помогает заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 564 Мерзляк — Подробные Ответы
В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK, BEF и CMN. Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?
Дано:
- O – центр вписанной окружности;
- ΔABC – равнобедренный;
- EF, DK, MN – касательные;
- AC = 10 см;
- PADK, PBEF, PCM = 42 см;
Найти: AB;
Решение:
1) Рассмотрим окружность:
- AX = AZ, BX = BY, CY = CZ;
- EX = EI, FY = FI, DX = DG;
- KG = KZ, NZ = NH, MH = MY;
2) В треугольнике ADK:
- PADK = AD + AK + DK;
- PADK = AD + AK + DG + KG;
- PADK = AD + AK + DX + KZ;
- PADK = AX + AZ;
3) Аналогично для ΔBEF и ΔCMN:
- PBEF = BX + BY, PCM = CY + CZ;
4) В треугольнике ABC:
- PABC = AB + BC + AC;
- PABC = AX + BX + BY + CY + AZ + CZ;
- PABC = PADK + PBEF + PCM = 42;
- PABC = AB + AB + AC = 2AB + AC;
- 2AB + 10 = 42;
- 2AB = 32;
- AB = 16;
Ответ: 16 см.
Дано:
- O — центр вписанной окружности;
- ΔABC — равнобедренный треугольник, где AB = BC;
- EF, DK, MN — касательные к окружности;
- AC = 10 см;
- Сумма периметров треугольников PADK, PBEF, PCM равна 42 см;
Найти: AB;
Решение:
1) Рассмотрим окружность:
Для удобства обозначим длины отрезков касательных. Пусть:
- AX = AZ,
- BX = BY,
- CY = CZ,
- EX = EI,
- FY = FI,
- DX = DG,
- KG = KZ,
- NZ = NH,
- MH = MY.
2) В треугольнике ADK:
Периаметр треугольника PADK равен сумме его сторон:
PADK = AD + AK + DK;
Так как DK и AK — это касательные к окружности, их можно выразить через длины отрезков AX и AZ:
PADK = AX + AZ;
3) Аналогично для треугольников BEF и CMN:
Периметры этих треугольников можно выразить через длины их касательных:
PBEF = BX + BY,
PCMN = CY + CZ.
4) В треугольнике ABC:
Периметр треугольника ABC можно выразить как сумму всех его сторон:
PABC = AB + BC + AC;
Так как AB = BC, то:
PABC = AB + AB + AC = 2AB + AC;
С другой стороны, периметр можно выразить через периметры треугольников ADK, BEF и CMN:
PABC = PADK + PBEF + PCMN = 42;
Теперь подставим выражение для PADK, PBEF и PCMN в уравнение для PABC:
PABC = AX + AZ + BX + BY + CY + CZ = 42;
Используя тот факт, что AX = AZ, BX = BY и CY = CZ, можно объединить эти выражения:
PABC = 2(AX + BX + CY) = 42;
Это дает:
AX + BX + CY = 21;
Так как AX + BX + CY = AB + AC, то:
AB + AC = 21;
Теперь подставим значение AC = 10 см:
AB + 10 = 21;
Что дает:
AB = 21 - 10 = 16 см;
Ответ: Боковая сторона треугольника AB равна 16 см.
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения.
