Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 619 Мерзляк — Подробные Ответы
Серединный перпендикуляр гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC пересекает катет BC в точке M. Известно, что ∠MAC : ∠MAB = 8 : 5. Найдите острые углы треугольника ABC.
Дано:
MH ⟂ AB; AH = HB;
∠MAC : ∠MAB = 8 : 5;
Найти:
∠BAC; ∠ABC.
Решение:
1) Рассмотрим треугольники AMH и BMH:
MH — общая сторона;
ΔAMH = ΔBMH — по двум катетам;
∠MBH = ∠MAH;
2) В прямоугольном треугольнике ABC:
∠BAC + ∠ABC = 90°;
∠MAC + ∠MAB + ∠MAB = 90°;
(8/5)∠MAB + 2∠MAB = 90°;
8∠MAB + 10∠MAB = 450°;
18∠MAB = 450°;
∠MAB = 25°;
∠MAC = (8/5)·25° = 40°;
∠ABC = ∠MAB = 25°;
∠BAC = 40° + 25° = 65°.
Ответ: ∠BAC = 65°; ∠ABC = 25°.
Дано:
MH ⟂ AB; AH = HB;
∠MAC : ∠MAB = 8 : 5;
Найти:
∠BAC; ∠ABC.
Серединный перпендикуляр гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC пересекает катет BC в точке M. Известно, что ∠MAC : ∠MAB = 8 : 5. Найти острые углы ∠BAC и ∠ABC.
Обозначим H — середину гипотенузы AB. Тогда AH = HB и прямая MH перпендикулярна AB, то есть ∠AHM = ∠BHM = 90°. Треугольники AMH и BMH прямоугольные, имеют общий катет MH и равные катеты AH и HB. Следовательно, ΔAMH и ΔBMH равны по двум катетам, а соответствующие острые углы при H равны: ∠MAH = ∠MBH.
Так как точки A, H, B лежат на одной прямой AB, то угол ∠MAH равен углу ∠MAB (оба имеют сторону MA и направление вдоль AB), а угол ∠MBH равен углу ∠MBA (стороны MB и направление вдоль AB). Из равенства ∠MAH = ∠MBH получаем ∠MAB = ∠MBA.
Точка M лежит на луче BC, поэтому угол при вершине B равен углу между BA и BM: ∠ABC = ∠ABM = ∠MBA. Значит, ∠ABC = ∠MAB.
В треугольнике ABC сумма острых углов равна 90°: ∠BAC + ∠ABC = 90°. Луч AM делит угол при вершине A на два смежных угла: ∠BAC = ∠MAC + ∠MAB. Учитывая равенство ∠ABC = ∠MAB, получаем уравнение на основе суммы острых углов: ∠MAC + ∠MAB + ∠MAB = 90°, то есть ∠MAC + 2∠MAB = 90°.
По условию ∠MAC : ∠MAB = 8 : 5, следовательно ∠MAC = (8/5)∠MAB. Подставим в уравнение: (8/5)∠MAB + 2∠MAB = 90°. Приведём к общему знаменателю: (8/5 + 10/5)∠MAB = (18/5)∠MAB = 90°. Отсюда ∠MAB = 90° · (5/18) = 25°.
Тогда ∠ABC = ∠MAB = 25°. Далее ∠MAC = (8/5)·25° = 40°. Острый угол при вершине A равен сумме этих двух углов: ∠BAC = ∠MAC + ∠MAB = 40° + 25° = 65°.
Проверка: ∠BAC + ∠ABC = 65° + 25° = 90°, что верно для прямоугольного треугольника.
Ответ: ∠BAC = 65°, ∠ABC = 25°.
