Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 620 Мерзляк — Подробные Ответы
Внешний угол треугольника больше одного из углов треугольника, не смежного с ним:
1) на 60°, а другого — на 40°;
2) на 25°, а другого — на 35°.
Определите вид треугольника.
Пусть ∠A, ∠B, ∠C — углы данного треугольника, и ∠D — внешний угол при вершине угла A.
1) ∠D = ∠B + 60°, ∠D = ∠C + 40°;
∠B = ∠D − 60°, ∠C = ∠D − 40°;
∠D = ∠B + ∠C;
∠D = ∠D − 60° + ∠D − 40°;
∠D = 2∠D − 100°;
∠D = 100°;
∠A + ∠D = 180°;
∠A + 100° = 180°;
∠A = 80°;
∠B = 100° − 60° = 40°;
∠C = 100° − 40° = 60°;
Ответ: остроугольный.
2) ∠D = ∠B + 25°, ∠D = ∠C + 35°;
∠B = ∠D − 25°, ∠C = ∠D − 35°;
∠D = ∠B + ∠C;
∠D = ∠D − 25° + ∠D − 35°;
∠D = 2∠D − 60°;
∠D = 60°;
∠A + ∠D = 180°;
∠A + 60° = 180°;
∠A = 120°;
∠B = 60° − 25° = 35°;
∠C = 60° − 35° = 25°;
Ответ: тупоугольный.
Внешний угол треугольника больше одного из несмежных с ним внутренних углов на заданную величину. Требуется определить вид треугольника для двух независимых случаев.
Напоминание. Внешний угол при вершине A равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: ∠D = ∠B + ∠C. Также смежные углы при прямой дают 180°, поэтому ∠A + ∠D = 180°.
Случай 1. Внешний угол больше одного из несмежных углов на 60°, а другого на 40°.
Запишем условия через равенства с внешним углом ∠D: ∠D = ∠B + 60°, ∠D = ∠C + 40°.
Выразим внутренние углы через ∠D: ∠B = ∠D − 60°, ∠C = ∠D − 40°.
Используем свойство внешнего угла: ∠D = ∠B + ∠C.
Подставим выражения: ∠D = (∠D − 60°) + (∠D − 40°).
Соберём однотипные члены: ∠D = 2∠D − 100°.
Перенесём ∠D влево: 0 = ∠D − 100°, откуда ∠D = 100°.
Найдём ∠A из смежности: ∠A + ∠D = 180°, значит ∠A = 180° − 100° = 80°.
Найдём остальные углы из ранее полученных выражений: ∠B = ∠D − 60° = 100° − 60° = 40°, ∠C = ∠D − 40° = 100° − 40° = 60°.
Проверка суммы углов треугольника: 80° + 40° + 60° = 180° (верно).
Классификация. Все углы меньше 90°, значит треугольник остроугольный.
Случай 2. Внешний угол больше одного из несмежных углов на 25°, а другого на 35°.
Запишем условия: ∠D = ∠B + 25°, ∠D = ∠C + 35°.
Выразим углы: ∠B = ∠D − 25°, ∠C = ∠D − 35°.
Используем свойство внешнего угла: ∠D = ∠B + ∠C.
Подставим: ∠D = (∠D − 25°) + (∠D − 35°).
Собираем: ∠D = 2∠D − 60°.
Переносим ∠D: 0 = ∠D − 60°, получаем ∠D = 60°.
Находим ∠A по смежности: ∠A = 180° − ∠D = 180° − 60° = 120°.
Находим ∠B и ∠C: ∠B = ∠D − 25° = 60° − 25° = 35°, ∠C = ∠D − 35° = 60° − 35° = 25°.
Проверка суммы углов треугольника: 120° + 35° + 25° = 180° (верно).
Классификация. В треугольнике есть угол 120° больше 90°, значит треугольник тупоугольный.
Итог. В первом случае треугольник остроугольный (углы 80°, 40°, 60°). Во втором случае треугольник тупоугольный (углы 120°, 35°, 25°).
