Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 621 Мерзляк — Подробные Ответы
На листе бумаги нарисовали равносторонний треугольник и полностью накрыли его двумя другими равносторонними треугольниками разных размеров. Докажите, что для покрытия хватило бы одного из этих треугольников.
Равносторонний треугольник полностью накрыли двумя другими равносторонними треугольниками:
1) Все три вершины исходного треугольника лежат внутри одного из треугольников, накрывающих его;
2) Любой отрезок, лежащий внутри треугольника, меньше наибольшей его стороны;
3) В одном из этих треугольников лежат две вершины исходного треугольника;
4) Значит, сторона такого треугольника больше стороны исходного треугольника;
Что и требовалось доказать.
На листе бумаги изображён равносторонний треугольник T. Его полностью накрыли двумя другими равносторонними треугольниками разных размеров, обозначим их S₁ и S₂. Требуется доказать, что одного из них достаточно, то есть T целиком содержится либо в S₁, либо в S₂.
Шаг 1. Разбор по положению вершин треугольника T.
Каждая вершина T лежит в объединении S₁ ∪ S₂. Возможны два случая:
- Все три вершины T попали в один из треугольников, допустим, в S₁. Тогда, так как любой треугольник является выпуклой фигурой, содержащей свои вершины, он содержит и весь треугольник, натянутый на эти вершины. Следовательно, T ⊂ S₁ и одного треугольника уже достаточно.
- Ни один из S₁, S₂ не содержит все три вершины T. По принципу Дирихле один из них (пусть S₁) содержит как минимум две вершины T, обозначим их P и Q, а третья вершина R лежит в S₂.
Шаг 2. Оценка длины стороны по «внутренним отрезкам».
Отрезок PQ является стороной треугольника T. Он целиком лежит внутри S₁, потому что S₁ выпуклый и содержит точки P и Q. В любом треугольнике длина любого лежащего внутри него отрезка не превосходит наибольшей хорды этой фигуры, то есть длины его стороны. Значит, сторона S₁ не короче отрезка PQ. Следовательно, сторона S₁ ≥ сторона T.
Шаг 3. Следствие для покрытия.
Так как S₁ — равносторонний треугольник с большей (или равной) стороной, чем у T, и уже содержит две вершины T, то третья вершина T не может «выйти» за пределы S₁: равносторонний треугольник с данной стороной PQ и не большей длиной стороны целиком вписывается в равносторонний треугольник, внутри которого лежит PQ и чья сторона не меньше |PQ|. Значит, R также принадлежит S₁, то есть T ⊂ S₁.
Итог. В любом из двух случаев треугольник T целиком содержится в одном из треугольников S₁ или S₂. Следовательно, для покрытия исходного равностороннего треугольника достаточно одного из двух равносторонних треугольников разных размеров.
Что и требовалось доказать.
