ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 623 Мерзляк — Подробные Ответы

Точки A и B принадлежат прямой m. Постройте точку, удалённую от прямой m на расстояние a и равноудалённую от точек A и B. Сколько решений имеет задача?

Построить точку, удаленную от прямой m на расстояние a и равноудаленную от точек А и B:

Строим серединный перпендикуляр к отрезку AB, отмечаем точку H его пересечения с прямой m. На перпендикуляре через H откладываем отрезки длиной a вверх и вниз. Получаем две искомые точки.

Задача имеет 2 решения.

1) Локус равноудалённых от A и B.
Все точки, равноудалённые от A и B, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Так как A и B находятся на прямой m, серединный перпендикуляр будет проходить через середину отрезка AB (обозначим её H) и будет перпендикулярен m.

Как построить: дугами равного радиуса из A и B на обе стороны от m отметьте две точки пересечения; соедините их — получите серединный перпендикуляр к AB, проходящий через H и перпендикулярный m.

2) Локус точек на расстоянии a от прямой m.
Множество точек, удалённых от прямой m ровно на расстояние a, — это две прямые, параллельные m и отстоящие от неё на a по разные стороны. Эквивалентно, если мы уже имеем прямую, перпендикулярную m в точке H, то расстояние от точки на этой перпендикулярной к m равно модулю смещения вдоль этой перпендикулярной от H.

Как построить: на серединном перпендикуляре к AB из точки H отложите отрезки длины a в обе стороны (вверх и вниз относительно m). Получите две точки C и C′, для которых длина перпендикуляра до m равна a.

3) Проверка условий.
— Точки C и C′ лежат на серединном перпендикуляре к AB ⇒ они равноудалены от A и B.
— Отрезки HC и HC′ равны a и лежат на перпендикуляре к m ⇒ расстояние от C и C′ до m равно a.
Следовательно, и C, и C′ удовлетворяют обоим требованиям задачи.

Сколько решений?
— При a > 0 решений два (точки по разные стороны от m).
— При a = 0 решение одно — точка H (она лежит на m и равноудалена от A и B).