Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 661 Мерзляк — Подробные Ответы
Через середину O стороны MK треугольника MKN провели прямую, перпендикулярную стороне MK и пересекающую сторону MN в точке C. Известно, что MC = KN, ∠N = 50°. Найдите угол MCO.
Дано:
MO = OK;
OC ⟂ MK;
MC = KN;
∠N = 50°;
Найти: ∠MCO.
Решение:
1) Рассмотрим треугольник МСК:
CO — медиана и высота;
ΔМСК — равнобедренный;
СК = СМ;
∠СМК = ∠СКМ.
2) Рассмотрим треугольник СКN:
NK = СМ = СК;
ΔСКN — равнобедренный;
∠NCK = ∠CNK = 50°.
3) В треугольнике МСК:
∠MCK + ∠NCK = 180°;
∠MCK + 50° = 180°;
∠MCK = 130°;
∠CMK + ∠CKM + ∠MCK = 180°;
∠CMK + ∠CMK + 130° = 180°;
2∠CMK = 50°;
∠CMK = 25°.
4) В прямоугольном ΔMCO:
∠MCO + ∠CMO = 90°;
∠MCO + 25° = 90°;
∠MCO = 65°.
Ответ: 65°.
1. Рассмотрим треугольник MCK. Точка O — середина MK (MO = OK), а CO ⟂ MK. Следовательно, прямая CO является перпендикулярным серединным к стороне MK. Любая точка перпендикулярного серединного равноудалена от концов отрезка, значит точка C удовлетворяет CM = CK. Следовательно, ΔMCK — равнобедренный с боковыми сторонами CM и CK, а его основания — углы при вершинах M и K — равны: ∠CMK = ∠CKM.
2. Перейдём к треугольнику CKN. По условию MC = KN и из п.1 CM = CK, откуда CK = KN. Значит ΔCKN — равнобедренный с боковыми сторонами CK и KN. Тогда углы при основании CN равны: ∠NCK = ∠CNK.
3. Заметим, что точка C лежит на стороне MN, поэтому луч NC совпадает с лучом NM, а угол ∠CNK — это угол при вершине N всего треугольника MKN. По условию ∠N = 50°, следовательно ∠CNK = 50°, и по п.2 имеем также ∠NCK = 50°.
4. Найдём угол при C в треугольнике MCK. Так как точки M, C, N коллинеарны, лучи CM и CN — противоположные. Поэтому смежные углы при вершине C удовлетворяют: ∠MCK + ∠NCK = 180°. Подставляя ∠NCK = 50°, получаем ∠MCK = 180° − 50° = 130°.
5. В треугольнике MCK сумма углов равна 180° и, кроме того, ∠CMK = ∠CKM (п.1). Тогда
∠CMK + ∠CKM + ∠MCK = 180°,
2∠CMK + 130° = 180°,
2∠CMK = 50° ⇒ ∠CMK = 25°.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник MCO (поскольку OC ⟂ MK). Угол при M этого треугольника равен углу между MC и MK, то есть ∠CMO = ∠CMK = 25° (луч MO лежит на MK). Тогда
∠MCO + ∠CMO = 90°,
∠MCO = 90° − 25° = 65°.
Ответ: ∠MCO = 65°.
