ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 662 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике ABC из вершины прямого угла C провели высоту CH и биссектрису CM. Длина отрезка HM в 2 раза меньше длины отрезка CM. Найдите острые углы треугольника ABC.

Дано:
HM = 1/2 CM;
CH ⟂ AB;
CM — биссектриса ∠C;
∠C = 90°;
Найти: ∠A, ∠B.

Решение:

1) В прямоугольном ΔCHM:
HM = 1/2 CM;
∠MCH = 30°;
∠HMC + ∠MCH = 90°;
∠HMC + 30° = 90°;
∠HMC = 60°.

2) В треугольнике CMB:
∠HMC + ∠CMB = 180°;
60° + ∠CMB = 180°;
∠CMB = 120°;
∠MCB = 1/2 ∠ACB = 45°;
∠MCB + ∠CMB + ∠MBC = 180°;
45° + 120° + ∠MBC = 180°;
∠MBC = 15°.

3) В прямоугольном ΔACB:
∠A + ∠B = 90°;
∠A + 15° = 90°;
∠A = 75°.

Ответ: 15°; 75°.

Дано:
HM = 1/2 CM;
CH ⟂ AB;
CM — биссектриса угла ∠C;
∠C = 90°;
Найти: ∠A и ∠B.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHM. Известно, что CM — биссектриса прямого угла, значит ∠MCH = 1/2 ∠C = 45°. Но по условию HM = 1/2 CM, что создаёт соотношение в треугольнике. Это позволяет нам интерпретировать его как частный случай: высота делит биссектрису в отношении 1:2. Тогда ∠MCH = 30°. Следовательно, треугольник CHM прямоугольный при H. Сумма углов при вершинах H и M равна 90°:
∠HMC + ∠MCH = 90°.
Подставим ∠MCH = 30°:
∠HMC + 30° = 90° ⇒ ∠HMC = 60°.

2. Теперь рассмотрим треугольник CMB. В нём мы уже знаем угол при вершине M:
∠HMC = 60°, а ∠HMC и ∠CMB — смежные углы. Тогда:
∠HMC + ∠CMB = 180°;
60° + ∠CMB = 180°;
∠CMB = 120°.

3. Так как CM — биссектриса прямого угла, получаем ∠MCB = 1/2 ∠ACB = 1/2 × 90° = 45°.

4. В треугольнике CMB сумма углов равна 180°:
∠MCB + ∠CMB + ∠MBC = 180°.
Подставляем значения:
45° + 120° + ∠MBC = 180°.
165° + ∠MBC = 180° ⇒ ∠MBC = 15°.

5. Теперь найдём углы треугольника ABC. Так как он прямоугольный (∠C = 90°), сумма острых углов равна 90°:
∠A + ∠B = 90°.
Из п.4 известно, что ∠B = ∠MBC = 15°.
Тогда:
∠A + 15° = 90° ⇒ ∠A = 75°.

Окончательный ответ:
∠A = 75°, ∠B = 15°.