ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 4 Номер 663 Мерзляк — Подробные Ответы

На рисунке 335 BD = DC, DN ⟂ BC, ∠BDM = ∠MDA. Найдите сумму углов MBN и BMD.

Дано:
BD = DC;
DN ⟂ BC;
∠BDM = ∠MDA;
Найти: ∠MBN + ∠BMD.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники DNB и DNC:
DN — общая сторона;
ΔDNB = ΔDNC — по катету и гипотенузе;
∠BDN = ∠CDN.

2) Рассмотрим угол ADC:
∠ADC = ∠ADM + ∠MDB + ∠BDN + ∠NDC;
180° = ∠BDM + ∠BDM + ∠BDN + ∠BDN;
180° = 2∠BDM + 2∠BDN;
∠BDM + ∠BDN = 90°;
∠BDN = 90° − ∠BDM.

3) В прямоугольном ΔDNB:
∠BDN + ∠DBN = 90°;
90° − ∠BDM + ∠DBN = 90°;
∠DBN = ∠BDM.

4) В треугольнике MBD:
∠MBD + ∠BMD + ∠DBM = 180°;
∠MBD + ∠BMD + ∠DBN = 180°;
∠MBN + ∠BMD = 180°.

Ответ: 180°.

Дано:
BD = DC;
DN ⟂ BC;
∠BDM = ∠MDA;
Найти: ∠MBN + ∠BMD.

1. Рассмотрим треугольники DNB и DNC. Оба треугольника прямоугольные, так как DN ⟂ BC. У них общая гипотенуза DN и равные катеты BD = DC. По катету и гипотенузе эти треугольники равны. Из равенства следует, что равны соответствующие углы:
∠BDN = ∠CDN.

2. Рассмотрим угол ∠ADC. Он является развернутым углом (прямая AC), поэтому равен 180°. Разобьем его на части:
∠ADC = ∠ADM + ∠MDB + ∠BDN + ∠NDC.
Так как ∠MDA = ∠BDM (по условию) и ∠BDN = ∠NDC (по равенству треугольников), получаем:
∠ADC = ∠BDM + ∠BDM + ∠BDN + ∠BDN.
∠ADC = 2∠BDM + 2∠BDN.
Подставляем ∠ADC = 180°:
180° = 2∠BDM + 2∠BDN.
Делим обе части на 2:
90° = ∠BDM + ∠BDN.
Значит, ∠BDN = 90° − ∠BDM.

3. В треугольнике DNB угол при вершине N прямой, так как DN ⟂ BC. Сумма острых углов равна 90°:
∠BDN + ∠DBN = 90°.
Подставим ∠BDN = 90° − ∠BDM:
(90° − ∠BDM) + ∠DBN = 90°.
∠DBN = ∠BDM.

4. Теперь рассмотрим треугольник MBD. Сумма углов треугольника равна 180°:
∠MBD + ∠BMD + ∠DBM = 180°.
Но ∠DBM = ∠DBN = ∠BDM (из пункта 3). Следовательно:
∠MBD + ∠BMD + ∠BDM = 180°.
При этом угол ∠MBD совпадает с углом ∠MBN, так как точки M, B, N лежат на одной прямой.
Тогда окончательно:
∠MBN + ∠BMD = 180°.

Окончательный ответ: ∠MBN + ∠BMD = 180°.