ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 678 Мерзляк — Подробные Ответы

В остроугольных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ проведены высоты BD и B₁D₁ соответственно. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, если BD = B₁D₁, AD = A₁D₁, CD = C₁D₁.

Дано:
BD — высота ΔABC;
B₁D₁ — высота ΔA₁B₁C₁;
BD = B₁D₁;
AD = A₁D₁;
CD = C₁D₁.
Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁:
ΔABD = ΔA₁B₁D₁ — по двум катетам;
AB = A₁B₁.

2) Рассмотрим треугольники CBD и C₁B₁D₁:
ΔCBD = ΔC₁B₁D₁ — по двум катетам;
BC = B₁C₁.

3) Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:
AC = AD + DC = A₁D₁ + D₁C₁ = A₁C₁;
Таким образом, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ — по третьему признаку равенства треугольников.

Вывод:
ΔABC = ΔA₁B₁C₁.
Что и требовалось доказать.

Дано:
BD — высота ΔABC;
B₁D₁ — высота ΔA₁B₁C₁;
BD = B₁D₁;
AD = A₁D₁;
CD = C₁D₁.
Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

1. Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁.
— В этих треугольниках углы при вершинах D и D₁ равны 90°, так как BD и B₁D₁ — это высоты.
— По условию, катеты BD и B₁D₁ равны, а также AD = A₁D₁.
Следовательно, ΔABD = ΔA₁B₁D₁ по двум катетам прямоугольных треугольников.
Из этого равенства следует, что AB = A₁B₁.

2. Рассмотрим треугольники CBD и C₁B₁D₁.
— Углы при вершинах D и D₁ также прямые.
— По условию, BD = B₁D₁ и CD = C₁D₁.
Следовательно, ΔCBD = ΔC₁B₁D₁ по двум катетам прямоугольных треугольников.
Из этого равенства следует, что BC = B₁C₁.

3. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.
— Мы уже показали, что AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁.
— Также AC = AD + DC. По условию AD = A₁D₁ и DC = D₁C₁, значит AC = A₁D₁ + D₁C₁ = A₁C₁.
Таким образом, все три стороны треугольников равны: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁.

4. По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) имеем:
ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Вывод:
Мы доказали, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, так как у них равны все стороны и соответствующие углы.
Что и требовалось доказать.