ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 680 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольниках ABC и DEF AC = DF, BC = EF, ∠C = ∠F. Биссектрисы углов BAC и ABC пересекаются в точке O, а биссектрисы углов DEF и EDF — в точке M. Докажите, что ΔAOB = ΔDME.

Дано:
AO — биссектриса ∠A;
BO — биссектриса ∠B;
DM — биссектриса ∠D;
EM — биссектриса ∠E;
AC = DF;
BC = EF;
∠C = ∠F.

Доказать:
ΔAOB = ΔDME.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники ABC и DEF:
ΔABC = ΔDEF — по первому признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам);
следовательно, AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E.

2) Рассмотрим треугольники AOB и DME:
∠BAO = ½∠A = ½∠D = ∠EDM;
∠ABO = ½∠B = ½∠E = ∠DEM;
следовательно, ΔAOB = ΔDME — по второму признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними).

Что и требовалось доказать.

Дано:
1) AO — биссектриса угла ∠A;
2) BO — биссектриса угла ∠B;
3) DM — биссектриса угла ∠D;
4) EM — биссектриса угла ∠E;
5) AC = DF;
6) BC = EF;
7) ∠C = ∠F.

Доказать:
ΔAOB = ΔDME.

Решение:

1-й шаг. Рассмотрим треугольники ABC и DEF.
По условию задачи даны равенства:
— сторона AC равна стороне DF;
— сторона BC равна стороне EF;
— угол ∠C равен углу ∠F.
Таким образом, выполняется первый признак равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
Следовательно: ΔABC = ΔDEF.
Из этого равенства треугольников следует: AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E.

2-й шаг. Рассмотрим теперь треугольники AOB и DME.
— Так как AO — биссектриса угла ∠A, а ∠A = ∠D, то:
∠BAO = ½∠A = ½∠D = ∠EDM.
— Так как BO — биссектриса угла ∠B, а ∠B = ∠E, то:
∠ABO = ½∠B = ½∠E = ∠DEM.
— Кроме того, стороны AB и DE равны.

3-й шаг. В треугольниках AOB и DME совпадают:
— сторона AB = DE,
— угол ∠BAO = ∠EDM,
— угол ∠ABO = ∠DEM.
Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (сторона и прилежащие углы) получаем:
ΔAOB = ΔDME.

Вывод: Треугольники AOB и DME равны.
Что и требовалось доказать.