ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 681 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольниках ABC и DEF AC = DF, BC = EF, ∠C = ∠F. Биссектрисы углов BAC и ABC пересекаются в точке O, а биссектрисы углов DEF и EDF – в точке M. Докажите, что ΔAOB = ΔDME.

Дано:
AO – бисс ∠A;
BO – бисс ∠B;
DM – бисс ∠D;
EM – бисс ∠E;
AC = DF;
BC = EF;
∠C = ∠F;

Доказать:
ΔAOB = ΔDME;

Решение:
1) Рассмотрим треугольники ABC и DEF:
ΔABC = ΔDEF — по первому признаку;
AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E;

2) Рассмотрим треугольники AOB и DME:
∠BAO = ½∠A = ½∠D = ∠EDM;
∠ABO = ½∠B = ½∠E = ∠DEM;

ΔAOB = ΔDME — по второму признаку;
Что и требовалось доказать.

Дано:
AC = DF;
BC = EF;
∠C = ∠F;
AO — биссектриса ∠A;
BO — биссектриса ∠B;
DM — биссектриса ∠D;
EM — биссектриса ∠E.

Доказать:
ΔAOB = ΔDME.

Шаг 1. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. По условию у них:
— AC = DF;
— BC = EF;
— ∠C = ∠F.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) имеем:
ΔABC = ΔDEF.
Отсюда:
AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E.

Шаг 2. Теперь рассмотрим треугольники AOB и DME.
Так как AO — биссектриса угла A, то:
∠BAO = ½∠A.
Аналогично, DM — биссектриса угла D, значит:
∠EDM = ½∠D.
Но так как ∠A = ∠D, получаем:
∠BAO = ∠EDM.

Шаг 3. Аналогично рассмотрим углы при вершинах B и E.
BO — биссектриса угла B, значит:
∠ABO = ½∠B.
EM — биссектриса угла E, значит:
∠DEM = ½∠E.
Так как ∠B = ∠E, имеем:
∠ABO = ∠DEM.

Шаг 4. Таким образом, в треугольниках AOB и DME:
— AO = DM (так как это биссектрисы равных углов, проведённые в равных треугольниках);
— ∠BAO = ∠EDM;
— ∠ABO = ∠DEM.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников:
ΔAOB = ΔDME.

Вывод:
Мы доказали, что треугольники AOB и DME равны.
Что и требовалось доказать.