ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 682 Мерзляк — Подробные Ответы

Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой m, опущены на эту прямую перпендикуляры AC и BD соответственно.
Точки A и B равноудалены от прямой m, точка O – середина отрезка CD.
Докажите, что ΔAOB – равнобедренный.

Дано:
AC ⟂ m; BD ⟂ m;
AC = BD; CO = OD;
Доказать: ΔAOB – равнобедренный;

Решение:
1) Рассмотрим треугольники ACO и BDO:
ΔACO = ΔBDO – по двум катетам;
AO = BO;

2) Рассмотрим треугольник AOB:
AO = BO;
ΔAOB – равнобедренный;
Что и требовалось доказать.

Дано:
AC ⟂ m;
BD ⟂ m;
AC = BD;
CO = OD;
Доказать: ΔAOB – равнобедренный.

Шаг 1. Рассмотрим перпендикуляры AC и BD.
Поскольку AC ⟂ m и BD ⟂ m, то оба этих отрезка являются высотами из точек A и B на прямую m. Это значит, что AC и BD образуют прямые углы с прямой m.

Шаг 2. Условие AC = BD.
Так как длины перпендикуляров равны, точки A и B действительно равноудалены от прямой m. Следовательно, A и B симметричны относительно прямой m.

Шаг 3. Рассмотрим отрезок CD и его середину O.
Так как O – середина CD, то выполняется равенство CO = OD. Таким образом, точка O делит отрезок CD пополам.

Шаг 4. Рассмотрим треугольники ACO и BDO.
В этих треугольниках:
1) AC = BD (по условию);
2) CO = OD (так как O – середина CD);
3) ∠ACO = ∠BDO = 90° (по построению перпендикуляров).
Следовательно, треугольники ACO и BDO равны по двум катетам.

Шаг 5. Из равенства треугольников ACO и BDO следует, что AO = BO.
Это означает, что точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от точки O.

Шаг 6. Рассмотрим треугольник AOB.
В нём AO = BO, что означает равенство двух сторон. А значит, треугольник AOB является равнобедренным.

Вывод: ΔAOB – равнобедренный. Что и требовалось доказать.