Учебник по геометрии для 7 класса, написанный авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, является одним из самых популярных и востребованных пособий в школьном курсе математики. Он сочетает в себе доступное изложение материала и глубокое понимание ключевых понятий, что помогает ученикам не просто запомнить формулы, а освоить логику и суть геометрии.
ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 684 Мерзляк — Подробные Ответы
Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC. Докажите, что прямая BD – серединный перпендикуляр отрезка AC.
Дано:
ΔABC – равнобед;
ΔADC – равнобед;
Доказать:
BD ⟂ AC; AE = EC;
Решение:
1) Рассмотрим треугольники BAD и BCD:
BD – общая сторона;
ΔBAD = ΔBCD – по третьему признаку;
∠ABD = ∠CBD;
2) ΔABC равнобедренный:
∠ABE = ∠CBE;
BE – биссектриса;
BE – медиана и высота;
BE ⟂ AC, AE = EC;
Что и требовалось доказать.
Дано:
ΔABC – равнобедренный, где AB = BC;
ΔADC – равнобедренный, где AD = DC;
Нужно доказать: BD ⟂ AC и AE = EC, где E – точка пересечения BD и AC.
1) Рассмотрим треугольники BAD и BCD.
У этих треугольников общая сторона BD. Так как AB = BC и AD = DC, то все три стороны у этих треугольников равны попарно. По третьему признаку равенства треугольников получаем:
ΔBAD = ΔBCD.
Из равенства этих треугольников следует равенство углов: ∠ABD = ∠CBD.
2) Рассмотрим треугольник ABC, который является равнобедренным (AB = BC).
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины при основании, является одновременно медианой и высотой. Следовательно, если провести из вершины B биссектрису BE, то она разделит основание AC на два равных отрезка AE и EC, а также будет перпендикулярна основанию AC. Таким образом:
∠ABE = ∠CBE;
BE ⟂ AC;
AE = EC.
3) Так как треугольники BAD и BCD равны, то биссектриса BE одновременно совпадает с прямой BD. Это означает, что BD является и медианой, и высотой, и биссектрисой.
Отсюда следует:
BD ⟂ AC и AE = EC.
Вывод:
Прямая BD действительно является серединным перпендикуляром к отрезку AC. Что и требовалось доказать.
