ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 685 Мерзляк — Подробные Ответы

На рисунке 341 AB = BC, ∠ABO = ∠CBO. Докажите, что ∠DAO = ∠DCO.

Дано:
AB = BC;
∠ABO = ∠CBO;
Доказать: ∠DAO = ∠DCO.

Решение:
1) Рассмотрим треугольники ABD и CBD:
BD — общая сторона;
∠ABD = ∠CBD (так как ∠ABO = ∠CBO и O лежит на BD);
AD = CD (из равенства треугольников ABD и CBD по стороне и прилежащим углам).

2) Тогда в треугольнике ADC имеем AD = CD — он равнобедренный, а значит основание AO = OC и углы при основании равны:
∠DAO = ∠DCO.
Что и требовалось доказать.

Дано:
AB = BC;
∠ABO = ∠CBO;
Доказать: ∠DAO = ∠DCO.

1. Из условия известно, что AB = BC. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC и вершиной в точке B. Следовательно, в таком треугольнике медиана, проведённая из вершины B к основанию AC, будет одновременно биссектрисой и высотой.

2. В условии указано, что ∠ABO = ∠CBO. Так как точка O лежит на прямой BD, где D — точка пересечения продолжений сторон, получаем, что прямая BO действительно является биссектрисой угла ∠ABC. Для равнобедренного треугольника ABC это автоматически означает, что BO также является медианой и высотой.

3. Из того, что BO — медиана, следует равенство отрезков: AO = OC. Таким образом, точка O — середина основания AC.

4. Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD.
У них есть общая сторона BD.
Стороны AB и BC равны по условию.
Также углы ∠ABO и ∠CBO равны.
Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по стороне и двум прилежащим углам.
Из равенства этих треугольников вытекает равенство сторон: AD = CD.

5. Рассмотрим треугольник ADC. В нём стороны AD и CD равны, значит, треугольник ADC равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно:
∠DAO = ∠DCO.

6. Таким образом, мы доказали, что в данной конфигурации треугольников и при условии равенства AB = BC, а также равенства углов ∠ABO и ∠CBO, действительно выполняется равенство:
∠DAO = ∠DCO.
Что и требовалось доказать.