ГДЗ по Геометрии 7 Класс Номер 687 Мерзляк — Подробные Ответы

Точка O — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AC и BC треугольника ABC — принадлежит его стороне AB. Докажите, что: 1) точка O — середина отрезка AB; 2) ∠ACB = ∠A + ∠B.

Дано:
OE ⟂ AC; AE = EC;
OF ⟂ BC; BF = FC;
Доказать:
1) AO = OB;
2) ∠ACB = ∠A + ∠B;

Решение:
Рассмотрим треугольник AOC:
OE — высота и медиана;
ΔAOC — равнобедренный;
AO = OC, ∠OAC = ∠OCA;

Рассмотрим треугольник COB:
OF — высота и медиана;
ΔCOB — равнобедренный;
OC = OB, ∠OBC = ∠OCB;

1) AO = OC = OB;
⇒ AO = OB;

2) ∠ACB = ∠OCA + ∠OCB;
∠ACB = ∠OAC + ∠OBC;
∠ACB = ∠A + ∠B;

Что и требовалось доказать.

Дано (из рисунка и формулировки):
OE ⟂ AC, AE = EC ⇒ O лежит на серединном перпендикуляре к AC;
OF ⟂ BC, BF = FC ⇒ O лежит на серединном перпендикуляре к BC;
O ∈ AB.

Доказательство пункта 1 (O — середина AB):
Так как O — серединный перпендикуляр к AC, то OA = OC. Аналогично, из принадлежности O серединному перпендикуляру к BC получаем OB = OC.
Следовательно, OA = OB. Поскольку O лежит на прямой AB, равенство OA = OB означает, что точка O делит отрезок AB на две равные части, то есть O — его середина. Что и требовалось.

Доказательство пункта 2 (∠ACB = ∠A + ∠B):
1) Рассмотрим треугольник AOC. Из OA = OC он равнобедренный, поэтому равны углы при основании: ∠OAC = ∠OCA.
2) Аналогично, в треугольнике COB: OC = OB ⇒ треугольник равнобедренный ⇒ ∠OBC = ∠OCB.
3) Разобьём угол при вершине C на два угла лучом CO: ∠ACB = ∠OCA + ∠OCB.
4) Так как O лежит на AB, луч AO совпадает с направлением AB, а луч BO — с направлением BA. Поэтому ∠A = ∠CAB = ∠OAC, а ∠B = ∠CBA = ∠OBC.
5) Подставляя равенства из (1)–(4):
∠ACB = ∠OCA + ∠OCB = ∠OAC + ∠OBC = ∠A + ∠B. Что и требовалось доказать.

Замечание (эквивалентная интерпретация): Так как OA = OB и O ∈ AB, отрезок AB является диаметром описанной окружности с центром O. Тогда по теореме Фалеса ∠ACB = 90°, а из суммы углов треугольника следует ∠A + ∠B = 90°. Отсюда вновь получаем ∠ACB = ∠A + ∠B.